Quadrik

Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf bitte mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung.

Als quadratische Form (auch Quadrik) bezeichnet man in der linearen Algebra spezielle Polynomfunktionen zweiten Grades mit mehreren Variablen. In Abhängigkeit von der Anzahl der Variablen beschreiben diese Funktionen Kurven, Flächen oder Hyperflächen zweiter Ordnung.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen
2 Beispiele
- 2.1 Kurven zweiter Ordnung
- 2.2 Flächen zweiter Ordnung
3 Siehe auch

Definitionen

Definition (Quadrik)

Für symmetrische Matrizen A heißt die Funktion

$q: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto q(x) = x^t \cdot A \cdot x + 2 \cdot L \cdot x + c$

eine Quadrik. Dabei ist A eine beliebige symmetrische n x n Matrix und L ein Vektor aus $\mathbb{R}^n$ , sowie c eine reelle Konstante.

Bemerkung: Ist A zusätzlich eine Diagonalmatrix und L = 0, dann heißt q(x) rein quadratisch

Bemerkung: Jede allgemeine Quadrik der obigen Form lässt sich durch Translationen und eine Hauptachsentransformation auf rein quadratische Form bringen. An Hand dieser allgemeinen Form kann die Quadrik charakterisiert werden, d.h. bestimmt werden, welche geometrische Figur (nämlich Ellipsoid, Paraboloid, Geradenpaar, ...) sie darstellt.

Erläuterung

$q(x) = x^t A x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} l_1 \\ \vdots \\ l_n \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + c = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j + \sum_{i=1}^n l_i x_i + c$

Definition (Definitheit)

Sei x ∈ Rⁿ und q(x) eine quadratische Form, dann heißt q(x) :

positiv definit bzw. negativ definit, falls ∀x ≠ 0 : q(x) > 0 bzw. ∀x ≠ 0 : q(x) < 0

positiv semidefinit bzw. negativ semidefinit, falls ∀x ≠ 0 : q(x) ≥ 0 bzw. ∀x ≠ 0 : q(x) ≤ 0

indefinit, falls ∃x : q(x) > 0 und ∃x : q(x) < 0

Beispiele

Kurven zweiter Ordnung

Allgemein für R²→R: q(x) = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂²

Die geometrische Figur einer Kurve zweiter Ordnung wird als Kegelschnitt bezeichnet.

Beispiel 1.1

Beispiel 1.1

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow q(x) = x_1^2 + 4 x_1 x_2 + x_2^2$

Definitheit: Für x = (1,1) : q(x) > 0 und für x = (1,-1) : q(x) < 0 $\Rightarrow$ q(x) ist indefinit

Beispiel 1.2

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow q(x) = x_1^2 + 2 x_2^2$

Definitheit: ∀x ≠ 0 : q(x) > 0 ⇒ q(x) ist positiv definit

Flächen zweiter Ordnung

Allgemein für R³→R: q(x) = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂² + 2a₁₃x₁x₃ + 2a₂₃x₂x₃ + a₃₃x₃²

Als geometrische Figur kann auftreten: Hyperboloid, Ellipsoid, Doppelkegel, Paraboloid, Zylinder, Ebenenpaar, Doppelebene

Beispiel 2.1

Beispiel 2.1

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \Rightarrow q(x) = x_1^2 + x_2^2 + 4 x_1 x_3 + 4 x_2 x_3 + \frac{1}{2} x_3^2$