Radikal (Mathematik)

In der mathematischen Disziplin der Algebra gibt es verschiedene Bedeutungen des Wortes Radikal.

Inhaltsverzeichnis

1 In der Ringtheorie
2 Auflösung eines Polynoms durch Radikale
3 In der Gruppentheorie
4 In der Theorie der Liealgebren

In der Ringtheorie

Primradikal

Es sei $R$ ein Ring mit Einselement. Der Durchschnitt über alle Primideale von $R$ heißt das Primradikal von $R$ . Es ist das kleinste Semiprimideal und ein Nilideal.

Im Fall eines kommutativen Ringes stimmt es mit dem Nilradikal (s.u.) überein.

Kommutativer Fall: Radikal eines Ideales und Nilradikal

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und $\mathfrak{a} \subset R$ ein Ideal in R. Dann bezeichnet man mit

$\sqrt{\mathfrak{a}} := \{x \in R \mid \exists r \in \Bbb N: x^r \in \mathfrak{a}\}$

das Radikal von $\mathfrak{a}$ . Es ist ein Ideal in R.

Ein Ideal, das mit seinem Radikal identisch ist, nennt man Radikalideal. Jedes Primideal ist ein Radikalideal.

Das Nilradikal oder nilpotente Radikal eines Ringes ist $\sqrt0$ , also die Menge der nilpotenten Elemente des Ringes. Es ist gleich dem Primradikal, also dem Schnitt aller Primideale. Ist das Nilradikal das Nullideal, d.h. ist die Null das einzige nilpotente Element, so heißt der Ring reduziert.

Jacobson-Radikal

Der Schnitt aller maximalen Linksideale eines Ringes wird als Jacobson-Radikal bezeichnet.

Auflösung eines Polynoms durch Radikale

In der Galois-Theorie beschäftigt man sich mit der Auflösung von Polynomen in Radikale, also in Faktoren $x - a$ , wobei $a$ einen Ausdruck beschreibt, der lediglich durch rationale Zahlen, mittels der vier Grundrechenarten sowie unter Verwendung von Wurzeln darstellbar sein muss.