Relationale Algebra

Die Relationenalgebra oder Relationale Algebra ist eine formale Sprache, mit der sich Anfragen über einem relationalen Schema formulieren lassen. Sie erlaubt es, Relationen miteinander zu verknüpfen oder zu reduzieren und komplexere Informationen daraus herzuleiten.

Es werden Operationen definiert, die sich auf einer Menge von Relationen anwenden lassen. Damit lassen sich bspw. Relationen verknüpfen, filtern oder umbenennen. Die Ergebnisse aller Operationen sind ebenfalls Relationen. Aus diesem Grund bezeichnet man die Relationenalgebra als abgeschlossen.

Ihre Bedeutung hat die Relationenalgebra als theoretische Grundlage für Anfragesprachen in relationalen Datenbanken. Hier werden die Operationen der Relationalen Algebra in so genannten Datenbankoperatoren implementiert. Wenn jeder Term der relationalen Algebra in der Anfragesprache umgesetzt werden kann, heißt sie relational vollständig. Wenn jeder Term durch genau einen Ausdruck der Anfragesprache umgesetzt werden kann, heißt sie streng relational vollständig. Im Gegensatz zu den Kalkülen ist die relationale Algebra sicher, d.h. sie liefert in endlicher Zeit ein endliches Resultat.

Die Erfindung der relationalen Algebra durch Edgar F. Codd hat in den 1970er Jahren die Datenbankwelt revolutioniert, deren Standarddatenmodelle damals das hierarchische Modell und das Netzwerkdatenbankmodell waren. Die Datenbanksprache SEQUEL, ein Vorläufer des heutigen SQL, war neben QBE und QUEL eine der ersten Umsetzungen der Ideen des relationalen Modells, und damit der relationalen Algebra.

Operationen

Mengenoperationen

Um Mengenoperationen auf R und S durchführen zu können, müssen beide Relationen miteinander kompatibel sein. Die Typkompatibilität, auch Vereinigungsverträglichkeit genannt, zweier Relationen ist gegeben, wenn

R und S den gleichen Grad (Tupelelementanzahl) haben
die Attributnamen von R und S übereinstimmen
der Wertebereich der Attribute von R und S identisch ist

Vereinigung

Bei der Vereinigung R ∪ S werden alle Tupel der Relation R mit allen Tupeln der Relation S zu einer einzigen Relation vereint. Voraussetzung dafür ist, dass R und S das gleiche Relationenschema haben. Das heißt, sie haben gleiche Attribute und Attributtypen. Duplikate werden bei der Vereinigung gelöscht.

Definition

$R \cup S := \{ t | t \in R \lor t \in S \}$

Beispiel

R:
A	B	C
1	2	3
4	5	6

S:
A	B	C
7	8	9
4	5	6

R ∪ S:
A	B	C
7	8	9
4	5	6
1	2	3

Voraussetzung

Vereinigungsverträglichkeit von R und S

Differenz

Bei der Operation R \ S werden aus der ersten Relation alle Tupel entfernt, die auch in der zweiten Relation vorhanden sind. Die Differenz (sowie die symmetrische Differenz) ist keine monotone Operation, daher ist auch die Relationale Algebra im Vergleich zu anderen deklarativen Anfragesprachen (z. B. Datalog) nicht monoton.

Definition

$R \setminus S := \{ t | t \in R \land t \notin S \}$

Beispiel

R:
A	B	C
1	2	3
4	5	6

S:
A	B	C
7	8	9
4	5	6

R \ S:
A	B	C
1	2	3

Voraussetzung

Vereinigungsverträglichkeit von R und S

Symmetrische Differenz

Bei der symmetrischen Differenz R △ S handelt es sich um die Menge aller Tupel, die entweder in R oder in S aber nicht in beiden gleichzeitig enthalten sind.

Definition

$R \triangle S := \{ t | (t \in R \lor t \in S) \and t \notin R \cap S \}$

Die Operation kann aus den Grundoperationen abgeleitet werden:

$R \triangle S := (R \setminus S) \cup (S \setminus R)= (R \cup S) \setminus (S \cap R)$

Beispiel

R:
A	B	C
1	2	3
4	5	6

S:
A	B	C
7	8	9
4	5	6

R △ S:
A	B	C
1	2	3
7	8	9

Voraussetzung

Vereinigungsverträglichkeit von R und S

Durchschnitt

Das Ergebnis der Durchschnittsoperation R ∩ S sind all die Tupel, die sich sowohl in R als auch in S finden lassen. Der Mengendurchschnitt lässt sich auch durch die Mengendifferenz ausdrücken: R ∩ S = R \ (R \ S)

Definition

$R \cap S := \{ t | t \in R \land t \in S \}$

Beispiel

R:
A	B	C
1	2	3
4	5	6

S:
A	B	C
7	8	9
4	5	6

R ∩ S:
A	B	C
4	5	6

Voraussetzung

Vereinigungsverträglichkeit von R und S

Kartesisches Produkt (Kreuzprodukt)

Das Kartesische Produkt R × S ist eine Operation sehr ähnlich dem Kartesischen Produkt aus der Mengenlehre.

Das Resultat des Kartesischen Produkts ist die Menge aller Kombinationen der Tupel aus R und S, d.h. jede Zeile der einen Tabelle wird mit jeder Zeile der anderen Tabelle kombiniert. Wenn alle Merkmale (Spalten) verschieden sind, so umfasst die Resultatstabelle die Summe der Merkmale der Ausgangstabellen. Die Anzahl Tupel (Zeilen) im Resultat ist die Multiplikation der Anzahl Zeilen der Ausgangstabellen.

Definition

Zwei beliebige Relationen $R = (a 1, a 2,..., a n)$ und $S = (b 1, b 2,..., b m)$ sind gegeben. Das kartesische Produkt ist definiert durch

$R\times S:=\{(a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_m)|(a_1,a_2,...,a_n)\in R\wedge (b_1,b_2,...,b_m)\in S\}$

Beispiel

R:
A	B	C	D
1	2	3	4
4	5	6	7
7	8	9	0

S:
E	F	G
1	2	3
7	8	9

R × S:
A	B	C	D	E	F	G
1	2	3	4	1	2	3
4	5	6	7	1	2	3
7	8	9	0	1	2	3
1	2	3	4	7	8	9
4	5	6	7	7	8	9
7	8	9	0	7	8	9

Projektion

Die Projektion kann auch Attributbeschränkung genannt werden. Sie extrahiert einzelne Attribute aus der ursprünglichen Attributmenge und ist somit als eine Art Selektion auf Spaltenebene zu verstehen, das heißt, die Projektion blendet Spalten aus. Wenn β die Attributliste ist, schreibt man π_β(R) oder in der linearen Schreibweise R[β]. β heißt auch Projektionsliste. Duplikate in der Ergebnisrelation werden eliminiert.

Definition

Sei R eine Relation über {A₁, …, A_k} und β ⊆ {A₁, …, A_k}.

$\pi_{\beta}(R):=\{t_{\beta}|t \in R\}$

Die t_β := (β), das heißt, die Tupel erhalten nur die Attribute aus der Attributliste β.

Beispiel

R:
A	B	C
1	2	3
4	5	6

R[A,B]:
A	B
1	2
4	5

R[A]:
A
1
4

Voraussetzung

Die angegebenen Spalten müssen in R enthalten sein.

Selektion (Restriktion)

Bei der Selektion kann man mit einem Vergleichsausdruck (Prädikat) eine Auswahl von Tupeln festlegen, die in die Ergebnismenge aufgenommen werden sollen. Es werden also Tupel („Zeilen“) ausgeblendet. Man schreibt $σ A u s d r u c k (R)$ oder in der linearen Schreibweise R[Ausdruck]. Ausdruck heißt dann Selektionsbedingung.

Definition

Sei R eine Relation.

$\sigma_{\mbox{Ausdruck}}(R) := \{ t | t \in R \wedge t \mbox{ erf}\mathrm{\ddot u}\mbox{llt Ausdruck} \}$

Ausdruck bezeichnet dabei eine Formel. Diese kann bestehen aus:

Konstantenselektionen Attribut θ Konstante, wobei θ ein üblicher (passender) Vergleichsoperator ist.
Attributselektionen Attribut θ Attribut
Eine Verknüpfung einer Formel mit logischen Prädikaten ∧, ∨, ¬ (Klammerung wie üblich).

Beispiel

R:
A	B	C
1	2	4
4	6	7
1	6	7
8	6	1

R[A=1]:
A	B	C
1	2	4
1	6	7

R[C>6]:
A	B	C
4	6	7
1	6	7

Voraussetzung

Jedes Element der angegeben Spalte muss über den Bedingungsoperator mit dem Vergleichswert vergleichbar sein.

Join

Ein Join (zu deutsch Verbund) bezeichnet die beiden hintereinander ausgeführten Operationen kartesisches Produkt und Selektion. Die Selektionsbedingung ist dabei üblicherweise ein Vergleich von Attributen A θ B, wobei θ ein passender Vergleichsoperator ist. Man bezeichnet den allgemeinen Verbund daher auch als θ-Verbund („Theta-Verbund“). Spezialfälle des allgemeinen Verbundes sind der Equi-Join, der Natural Join und der Semi-Join (siehe unten).

Definition

Für zwei Relationen $R (A 1,..., A n, B 1,..., B n)$ und $S (B 1,..., B n, C 1,..., C n)$ ist das Ergebnis des allgemeinen Verbundes mit einer Formel Ausdruck als Selektionsbedingung

$R \triangleright\!\!\triangleleft\,_{\mathrm{Ausdruck}} S:= \{ r \cup s | r \in R \land s \in S \land \mathrm{Ausdruck} \}$

Die Ableitung ist:

$R \triangleright\!\!\triangleleft\,_{\mathrm{Ausdruck}} S:= \sigma_{\mathrm{Ausdruck}}(R \times S)$

Beispiel

R:
A	B	C	D
1	2	3	4
4	5	6	7
7	8	9	0

S:
E	F	G
1	2	3
7	8	9

R x S:
A	B	C	D	E	F	G
1	2	3	4	1	2	3
4	5	6	7	1	2	3
7	8	9	0	1	2	3
1	2	3	4	7	8	9
4	5	6	7	7	8	9
7	8	9	0	7	8	9

JOIN(R, R.A <> S.E, S):
A	B	C	D	E	F	G
4	5	6	7	1	2	3
7	8	9	0	1	2	3
1	2	3	4	7	8	9
4	5	6	7	7	8	9

Equi Join

Beim Equi-Join (auch Gleichverbund) wird als erstes das kartesische Produkt gebildet. Dann erfolgt die Selektion mit der Bedingung, dass der Inhalt bestimmter Spalten identisch sein muss. Der Equi-Join ist ein allgemeiner Verbund mit einer Formel der Form A = B.

Definition

Für die Relationen R, S und dazugehörige Attribute A ∈ R, B ∈ S ist der Equi-Join

$R \triangleright\!\!\triangleleft\,_{A=B} S:= \{ r \cup s | r \in R \land s \in S \land r_{[A]}=s_{[B]} \}$

Beispiel

Hier:

$R \triangleright\!\!\triangleleft\,_{A=E} S:= \{ r \cup s | r \in R \land s \in S \land r_{[A]}=s_{[E]} \}$

R:
A	B	C	D
1	2	3	4
4	5	6	7
7	8	9	0

S:
E	F	G
1	2	3
7	8	9

R x S:
A	B	C	D	E	F	G
1	2	3	4	1	2	3
4	5	6	7	1	2	3
7	8	9	0	1	2	3
1	2	3	4	7	8	9
4	5	6	7	7	8	9
7	8	9	0	7	8	9

JOIN(R, R.A = S.E, S):
A	B	C	D	E	F	G
1	2	3	4	1	2	3
7	8	9	0	7	8	9

Natural Join

Der Natural Join setzt sich zusammen aus dem Equi-Join und einer zusätzlichen Ausblendung gleicher Spalten (Projektion). Der natürliche Verbund ist kommutativ und assoziativ, das heißt, es gilt $R \triangleright\!\!\triangleleft\, S = S \triangleright\!\!\triangleleft\, R$ sowie $(R \triangleright\!\!\triangleleft\, S ) \triangleright\!\!\triangleleft\, T = R \triangleright\!\!\triangleleft\, ( S \triangleright\!\!\triangleleft\, T)$ , was eine Rolle bei der Optimierung von Anfragen spielt.

Definition

Für zwei Relationen $R (A 1,..., A n, B 1,..., B n)$ und $S (B 1,..., B n, C 1,..., C n)$ ist das Ergebnis des natürlichen Verbundes

$R \triangleright\!\!\triangleleft\, S:= \{ r \cup s_{[C_1, ..., C_n]} | r \in R \land s \in S \land r_{[B_1, ..., B_n]} =s_{[B_1, ..., B_n]} \}$

Gibt es keine gemeinsamen Attribute, so ist das Ergebnis des natürlichen Verbundes das kartesische Produkt.

Beispiel

R:
A	B	C	D
1	2	3	4
4	5	6	7
7	8	9	0

S:
A	F	G
1	2	3
7	8	9

NATURAL JOIN (R, S):
A	B	C	D	F	G
1	2	3	4	2	3
7	8	9	0	8	9

Semi Join

Der Semi Join berechnet den Anteil eines Natural Joins, welcher nach einer Reduktion auf die linke Relation übrig bleibt.

Definition

Für zwei Relationen $R (A 1,..., A n, B 1,..., B n)$ und $S (B 1,..., B n, C 1,..., C n)$ ist das Ergebnis des natürlichen Verbundes

$R \ \triangleright\!\!\!< S:= \{ r | r \in R \land s \in S \land r_{[B_1, ..., B_n]} =s_{[B_1, ..., B_n]} \}$

Beispiel

R:
A	B	C	D
1	2	3	4
4	5	6	7
7	8	9	0

S:
A	F	G
1	2	3
7	8	9

SEMIJOIN (R, R.A = S.A, S):
A	B	C	D
1	2	3	4
7	8	9	0

Outer Join

Im Gegensatz zum Equi-Join werden beim Outer-Join auch die Tupel der linken (left outer join) bzw. der rechten (right outer join) in die Ergebnisrelation mit Aufgenommen, die keinen Join-Partner finden. Die nicht vorhandenen Attribute der Join-Relation werden mit Nullwerten aufgefüllt. Die Kombination aus Left- und Right-Outer-Join wird Outer-Join oder Full-Outer-Join genannt. Dabei werden alle Tupel in die Ergebnisrelation aufgenommen und jene Attribute eines Tupels mit Nullwerten aufgefüllt, die keinen Join-Partner in der jeweils anderen Relation gefunden haben.

Der Outer-Join kann mit oder ohne (natural outer join) Join-Bedingung verwendet werden.

Beispiel

R:
A	B	C	D
1	2	3	4
4	5	6	7
7	8	9	0

S:
A	F	G
1	2	3
7	8	9

LEFT OUTER JOIN (R, R.A = S.A, S):
A	B	C	D	F	G
1	2	3	4	2	3
4	5	6	7	NULL	NULL
7	8	9	0	8	9

Umbenennung

Durch diese Operation können Attribute und Relationen umbenannt werden. Diese Operation ist wichtig,

um Joins von unterschiedlichen benannten Relationen zu ermöglichen,
kartesische Produkte zu ermöglichen, wo es gleiche Attributnamen gibt, insbesondere auch mit der gleichen Relation, und
Mengenoperationen zwischen Relationen mit unterschiedlichen Attributen zu ermöglichen.

Die Schreibweise ist $\beta_{[\mathrm{neu}\leftarrow\mathrm{alt}]} (R)$ , linear R[alt→neu].

Definition

Wir konstruieren eine neue Tupelmenge t' aus der alten:

$\beta_{[\mathrm{neu}\leftarrow\mathrm{alt}]}(R):= \{t'|t'(R-\mathrm{neu})=t(R-\mathrm{neu}) \land t'(\mathrm{neu})=t(\mathrm{alt})\}$

Beispiel

R:
A	B	C
1	2	3
4	5	6

R[B→X]:
A	X	C
1	2	3
4	5	6

Division

Die Division kann man sich als Gegenoperation (oder Umkehroperation) zum Kartesischen Produkt vorstellen.

Seien R und S Relationen mit den Attributmengen $β$ und $γ$ .
Bei $\beta \cap \gamma = \varnothing$ gilt dann:

$T = R \times S$
$T \div S = R$

Definition

Da die Division eine abgeleitete Operation ist, definieren wir sie mit Hilfe der anderen Operationen der RA. Seien R, S Relationen und $β$ die zu R sowie $γ$ die zu S dazugehörigen Attributmengen. $R' := \beta \setminus \gamma$ .

Die Division ist dann definiert durch:

$R \div S := \pi_{R'}(R) - \pi_{R'}((\pi_{R'}(R) \times S) - R)$

Beispiel

Gegeben ist eine Relation R, die Väter und Mütter, deren Kinder und das Alter dieser Kinder enthält. Zusätzlich dazu ist eine Relation S gegeben, die einige Kinder und deren Alter enthält: Maria (4) und Sabine (2). Dividiert man R durch S, so erhält man als Ergebnis eine Relation, die nur noch diejenigen Ehepaare enthält, die sowohl eine Tochter Maria mit Alter 4 als auch eine Tochter Sabine mit Alter 2 haben:

R:
Vater	Mutter	Kind	Alter
Hans	Helga	Harald	5
Hans	Helga	Maria	4
Hans	Ursula	Sabine	2
Martin	Melanie	Gertrud	7
Martin	Melanie	Maria	4
Martin	Melanie	Sabine	2
Peter	Christina	Robert	9

S:
Kind	Alter
Maria	4
Sabine	2

R÷S
Vater	Mutter
Martin	Melanie

Minimalität und Vollständigkeit

Eine minimale Menge von Operationen, das heißt, eine Menge von Operationen, die mindestens notwendig ist, um alle Ausdrücke der relationalen Algebra bilden zu können, umfasst

Projektion
Selektion
Kreuzprodukt
Vereinigung
Differenz

Alle anderen Operationen (zum Beispiel Joins) lassen sich durch diese Grundoperationen nachbilden.

Jede andere Menge von Operationen ist relational vollständig, wenn sie die gleiche Mächtigkeit wie die oben genannten Operationen haben.

Erweiterungen der relationalen Algebra

Um andere Abfragesprachen, speziell SQL, vollständig in die relationale Algebra abbilden zu können, ist die relationale Algebra nicht mächtig genug. Es gibt z. B. keine Möglichkeit, die SQL-Operatoren GROUP BY/HAVING, Aggregatfunktionen und Nullwerte in die relationale Algebra zu übersetzen. Wir betrachten hier einige Erweiterungen (die teilweise ähnliches bewirken), die eine vollständige Abbildung in die relationale Algebra, und damit eine vollständige theoretische Betrachtung dieser Abfragesprachen, ermöglichen.

Nullwerte

SQL ermöglicht die Verwendung von NULL-Werten, die mit dem speziellen Prädikat IS NULL abgefragt werden können. Dies ist insbesondere wichtig bei der Bildung von äußeren Verbunden, die eine Relation erzeugen, die alle Werte der einen Relation enthalten, sowie alle Werte der anderen, für die die Verbundbedingung wahr ist, sonst eben NULL-Werte. Dies kann mit der relationalen Algebra so nicht abgebildet werden.

Eine Möglichkeit ist die Definition von Nullwerten wie in SQL mit einer dreiwertigen Logik, das heißt, die booleschen Operatoren werden mittels Wahrheitstabellen so erweitert, dass festgelegt ist, wie zu verfahren ist, wenn ein Operand NULL ist.

Erweiterte Wahrheitstabelle für AND
∧	true	false	NULL
true	true	false	NULL
false	false	false	false
NULL	NULL	false	NULL

Selektionsbedingungen oder Verbunde, die auf Nullwerte angewendet werden, ergeben NULL. Eine Schwierigkeit damit (d.h. mit der SQL-artigen Behandlung von Nullwerten) besteht darin, dass die Ergebnisse von Abfragen mit Unterabfragen, die NULL ergeben, nicht notwendigerweise der Intention des Benutzers entsprechen. Diese Art der Nullwertbehandlung ist auch nicht orthogonal, d. h. das Verhalten auf der einen Ebene (boolesche Operatoren, 3-wertige Logik) entspricht nicht dem auf einer anderen (Verbunde, 3-wertige Logik wird auf 2-wertige abgebildet).

Eine andere Möglichkeit ist die Unterscheidung zweier verschiedener Arten von Nullwerten, die jeweils „beliebig“ oder „nicht definiert“ bedeuten.

Gruppierungsoperator und Aggregatfunktionen

Die Gruppierung wendet Funktionen auf gleiche Attribute in einer Relation an. Der Operator γ erhält eine Liste von Funktionen und eine Attributliste. Die Funktionen werden dann auf Tupel angewendet für die die Attribute der Attributliste gleich sind. Die Ausgabe ist eine neue Relation bestehend aus der Attributliste und einem neuen Attribut, das die Ergebnisse der Funktionsliste enthält.

Die Funktionen sind dann die üblichen Aggregatfunktionen cnt, sum, max, avg ….

Definition

Seien R eine Relation und A = {A₁, …, A_n} Attribute aus R. F(X) sei eine Funktionsliste f₁(x₁), …, f_n(x_n). Die Gruppierung ist dann

$\gamma_{F(X); A} (R) := \bigcup_{t \in R} \gamma_{F(X); \emptyset}(\sigma_{A=t.A}(R))$

Für eine leere Attributmenge (also γ_F(X);{}(…)) wird ein zusätzliches Attribut erzeugt, das den Wert der Funktionsanwendung über die gesamte Relation enthält. Dies wird ausgenutzt, um die Relation mit der Selektion in Teilrelationen mit gleichen Attributen zu zerlegen, die dann mit der Funktionsanwendung wieder zusammengesetzt werden.

Weiter gilt, dass eine Gruppierung mit einer leeren Funktionsliste keinen Effekt hat.

NF²

Eine Erweiterung des relationalen Datenbankmodells ist das NF²-Modell. Der Name steht für Non-first-normal-form (NFNF), was andeuten soll, dass die Bedingung atomarer Attributwerte der 1. Normalform aufgebrochen wird. Folglich werden Mengen von Attributen und Mengen von Mengen erlaubt, was dazu führt, dass ein Attribut einer Relation wieder eine Relation sein kann. Die Domäne (Wertebereich) eines kombinierten Attributs ist das Kreuzprodukt der beteiligten Attributdomänen.

NF² erweitert die relationale Algebra dahingehend, dass neben den üblichen (entsprechend angepassten) Operationen der relationalen Algebra zwei Operationen hinzu genommen werden, die eine Relation schachteln (Nestung ν) und entschachteln (Entnestung μ). Die Nestung fasst eine Menge von Attributen in eine Unterrelation zusammen, die einen neuen Attributnamen erhält. Die Entnestung hebt Schachtelungen auf. Diese Operationen dienen dazu NF² Relationen in die 1. Normalform zu transformieren und umgekehrt. Die Operationen sind im Allgemeinen nicht bijektiv.

NF² benötigt aus obigen Gründen keine Fremdschlüssel.

Multimengensemantik

SQL liefert als Ergebnis von Anfragen eine Multimenge zurück, also eine Menge, die Elemente mehrfach enthalten kann. Dies wurde aus Performance-Gründen so gehandhabt, um den zusätzlichen Schritt der Duplikatentfernung zu sparen. Es können also streng genommen nur Anfragen in die relationale Algebra übersetzt werden, die mit DISTINCT angegeben sind.

Für die relationale Algebra kann man dann zusätzlich eine Funktion bag-to-set spezifizieren, die die Duplikate aus einer Multimenge entfernt und somit eine Menge erzeugt, und die Basisoperationen dann einfach als Multimenge { { t | …} } spezifizieren. Vorsicht muss man aber bei der Definition abgeleiteter Operationen walten lassen.

Beispiele

Als Relationenschemata für die Beispiele nehmen wir die klassische Beispieldatenbank bestehend aus den Schemata Kunde, Lieferant und Ware. Die Schemata seinen

KUNDE(Kundennr, Name, Wohnort, Kontostand)

LIEFERANT(Lieferantennr, Name, Ort, Telefon)

WARE(Warennr, Bezeichnung, Lieferantennr, Preis)

Grundoperationen der relationalen Algebra werden dann so benutzt:

Die Preise aller Waren:

π_{Bezeichnung, Preis}(WARE)

Alle Lieferanten aus Bremen:

σ_Ort='Bremen'(LIEFERANT)

Kunden mit negativem Kontostand:

σ_Kontostand<0(KUNDE)

Ort in LIEFERANT umbenennen (zum Beispiel um Mengenoperationen durchführen zu können):

β_{Ort→Wohnort}(LIEFERANT)

Da die Ergebnisse der relationalen Algebra wieder Relationen sind (die RA ist orthogonal), können die Operationen wieder auf die Ergebnisse von Operationen angewendet werden. Dies erlaubt komplexe Abfragen. Für eine einfachere Schreibweise nehmen wir an, dass das Kreuzprodukt eine implizite Umbenennung der Attribute vornimmt, so dass die neuen Attributnamen mit dem Relationennamen qualifiziert sind, d.h. aus Lieferantennr aus der Relation WARE wird WARE.Lieferantennr:

Die Telefonnummern aller Lieferanten, die Gemüse in Bremen liefern:

π_Telefon(σ_{Bezeichnung='Gemüse' ∧ Ort='Bremen' ∧ LIEFERANT.Lieferantennr=WARE.Lieferantennr}(LIEFERANT × WARE))

Alle Orte, die wenigstens einen Lieferanten und wenigstens einen Kunden enthalten

π_Ort(β_{Wohnort→Ort}(KUNDE)) ∩ π_Ort(LIEFERANT)

Siehe auch

Relationenkalkül

Literatur

Edgar F. Codd: A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks. In: Communications of the ACM. 6/13/1970, S. 377–387. (Die fundamentale Arbeit, mit der Codd 1970 erstmals das relationale Datenmodell vorstellte. Kostenfrei online verfügbar unter: ACM Classics oder als PDF-Datei: FHTW Berlin - Peter Morcinek; Größe: ca. 1,4 MB)
Alfons Kemper, André Eickler: Datenbanksysteme – Eine Einführung. ISBN 3-486-57690-9
Peter Kandzia und Hans-Joachim Klein: Theoretische Grundlagen relationaler Datenbanksysteme. ISBN 3411148918
Andreas Heuer, Gunter Saake: Datenbanken: Konzepte und Sprachen. MITP Verlag, ISBN 3-8266-0619-1, S. 297 ff.
H. Buff Datenbanktheorie BoD GmbH Norderstedt, ISBN 3-0344-0201-5, 312 Seiten
H.-J. Schek, P. Pistor: Data Structures for an Integrated Data Base Management and Information Retrival System (Non First Normal Form NF²), Proceedings fo the 8th International Conference on Very Large Data Bases
Dirk Leinders, Jerzy Tyskiewicz, Jan Van den Bussche On the expressive power of semijoin queries : [1]