Restklassenkörper

Restklassenkörper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle. In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des Restes bei der Division durch eine Primzahl; in einer komplizierteren Fassung geben sie die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt an.

Restklassenkörper modulo einer Primzahl

Ist $p$ eine Primzahl, so ist der Restklassenring $\mathbb Z/p\mathbb Z$ ein Körper, genauer ein endlicher Körper mit $p$ Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo $p$ genannt und üblicherweise mit $\mathbb F_p$ bezeichnet; man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper $\mathbb F_{p^2},\mathbb F_{p^3},\ldots$ gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.

Für weitere Details zu endlichen Körpern siehe endlicher Körper.

Restklassenkörper lokaler Ringe

Ist $A$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mathfrak m$ , so heißt der Faktorring $A/\mathfrak m$ (der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist) Restklassenkörper von $A$ .

Ist $K$ ein diskret bewerteter Körper mit Bewertungsring $\mathcal O$ und uniformisierendem Element $π$ , dann bezeichnet man $\mathcal O/\pi$ als Restklassenkörper von $K$ .

Restklassenkörper von Punkten auf Schemata

Ist $X$ ein Schema und $x\in X$ ein Punkt, so heißt der Restklassenkörper des lokalen Ringes $\mathcal O_{X,x}$ der Restklassenkörper von $X$ in $x$ und wird häufig mit $κ(x)$ bezeichnet.

Ist $X$ ein Schema über einem Körper $k$ , so sind alle Restklassenkörper von $X$ Körpererweiterungen von $k$ . Ist $X / k$ lokal endlichen Typs und $x\in X$ ein abgeschlossener Punkt, so ist $κ(x)$ eine endliche Erweiterung von $k$ ; dies ist im wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes.