Ringtheorie

Ring

berührt die Spezialgebiete

Mathematik

ist Spezialfall von

additive Abelsche Gruppe
multiplikative Halbgruppe
Halbring
Modul

umfasst als Spezialfälle

kommutativer Ring (Axiom K)
unitärer Ring (N)
- Schiefkörper (NI)
  - Körper (KNI)
nullteilerfreier Ring (0)
- Integritätsbereich (0K)
ganze Zahlen Z
euklidischer Ring
Hauptidealring [?]
Polynomringe
Restklassenringe

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ , Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind.

Die Namensgebung Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Ringförmiges, sondern auf einen Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. Einige ältere Vereinsbezeichnungen (wie z. B. Deutscher Ring, Weißer Ring) oder Ausdrücke wie „Verbrecherring“ weisen noch auf diese Bedeutung hin. Das Konzept des Ringes geht auf Richard Dedekind zurück; die Bezeichnung Ring wurde allerdings von David Hilbert eingeführt.^[1]^[2]

Inhaltsverzeichnis

1 Definition (Ring)
- 1.1 Einselement
- 1.2 Abschwächung der Axiome
2 Mathematische Attribute für Ringe
3 Beispiele
4 Eigenschaften
5 Spezialfälle
6 Verallgemeinerungen
7 Literatur
8 Einzelnachweise

Definition (Ring)

Eine Menge $R$ mit zwei inneren binären Verknüpfungen „+“ und „ $\cdot$ “ auf $R$ ist ein Ring, wenn gilt:

$(R, + )$ ist eine abelsche Gruppe, mit $0$ als neutralem Element;
die Multiplikation „ $\cdot$ “ ist assoziativ;
es gelten die Distributivgesetze, d. h. für alle $a,b,c\in R$ ist

$a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ und $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ .

Einselement

Besitzt ein Ring ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, so nennt man dieses die Eins des Ring oder das Einselement. Dieses Element wird meist mit 1 bezeichnet und hat die Eigenschaft

$1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ für alle $a \in R$

Abschwächung der Axiome

Wenn ein Ring ein neutrales Element der Multiplikation besitzt, dann muss nicht gefordert werden, dass die Addition kommutativ ist. Diese Eigenschaft folgt dann aus den restlichen Ringaxiomen. Für alle $a,b\in R$ gilt:

$a+a+b+b=1\cdot a+1\cdot a+1\cdot b+1\cdot b=(1+1)\cdot a+(1+1)\cdot b=(1+1)\cdot (a+b)=$

$1\cdot (a+b)+1\cdot (a+b)=a+b+a+b$

Addiert man diese Gleichung von links mit $( - a)$ und von rechts mit $( - b)$ , so erhält man:

a + b = b + a

Insgesamt wurden mit Ausnahme des Assoziativgesetzes der Multiplikation alle Axiome eines unitären Rings benutzt. Die Argumentation ist also auch für nicht-assoziative unitäre "Ringe" gültig.

Mathematische Attribute für Ringe

unitär; Ring mit Eins: Ein unitärer Ring oder Ring mit Eins ist ein Ring mit Einselement. In einigen Definitionen wird das Einselement für jeden Ring gefordert.
kommutativ: Bei einem kommutativen Ring ist auch die Multiplikation kommutativ. Mit kommutativen Ringen mit Eins beschäftigt sich die kommutative Algebra.
nullteilerfrei: In einem nullteilerfreien Ring gibt es keine von $0$ verschiedenen Elemente $a, b$ , sodass $a\cdot b = 0$ .

Beispiele

Das wichtigste Beispiel eines Ringes ist die Menge $(\Z,+,\cdot)$ der ganzen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation. Es handelt sich dabei um einen nullteilerfreien Ring mit Einselement, also einen Integritätsring.

Ebenso bildet $(\Bbb Q,+,\cdot)$ der rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Ring. Da in diesem Fall nicht nur $(\Bbb Q,+)$ , sondern auch $(\Bbb Q\setminus \{0\},\cdot)$ eine abelsche Gruppe bildet, liegt sogar ein Körper vor; es handelt sich dabei um den Quotientenkörper des Integritätsringes $(\Z,+,\cdot)$ .

Kein Ring ist die Menge $(\N,+,\cdot)$ der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation, da die Addition über den natürlichen Zahlen nicht invertierbar ist.

Weitere wichtige Beispiele von Ringen sind Restklassenringe, Polynomringe und quadratische Matrizen mit fixer Dimension. Insbesondere Restklassenringe und quadratische Matrizen liefern Beispiele von Ringen, die nicht nullteilerfrei sind. Quadratische Matrizen sind darüber hinaus ein Beispiel eines Rings, bei dem die Multiplikation nicht kommutativ ist.

Ein Beispiel eines Rings ohne Eins sind die geraden ganzen Zahlen, ebenso bilden alle ganzen Zahlen, die Vielfache einer gegebenen ganzen Zahl größer eins sind, einen Ring ohne Eins. Allgemein ist jedes echte Ideal eines Rings eine Ring ohne Eins.

Eigenschaften

Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition.
Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Ring). Die Ideale im Ring R sind gerade die Untermoduln dieses Moduls R.
Alle multiplikativ invertierbaren Elemente bilden die Einheitengruppe.

Spezialfälle

Boolescher Ring: Boolesche Ringe besitzen als Verknüpfungen die Und- und Oder-Verknüpfung. Sie treten in der booleschen Algebra auf.
Euklidischer Ring: In einem euklidischen Ring gibt es eine Division mit Rest. Dadurch kann der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden.
Faktorieller Ring, ZPE-Ring: Ein faktorieller Ring oder ZPE-Ring ist ein Integritätsring, in dem alle Elemente außer der Null eine Zerlegung in Primfaktoren besitzen.
Hauptidealring: Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Integritätsring: Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Eins.
Lokaler Ring: Ein lokaler Ring ist ein Ring mit Eins, in dem es genau ein maximales (Links- oder Rechts-)Ideal gibt. Einige Autoren verlangen, dass ein lokaler, kommutativer Ring zusätzlich noethersch sein muss und nennen einen nichtnoetherschen Ring mit genau einem maximalen Ideal einen quasi-lokalen Ring. In der Wikipedia lassen wir diese Zusatzforderung weg und sprechen ggf. explizit von noetherschen lokalen Ringen.
Körper: Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Eins, der nicht der Nullring ist, in dem es zu allen $a\in R\setminus\{0\}$ ein multiplikatives Inverses gibt.
Schiefkörper: Ein Schiefkörper ist ein Ring mit Eins, in dem es zu allen $a\in R\setminus\{0\}$ ein multiplikatives Inverses gibt.

Verallgemeinerungen

Halbring: Bei einem Halbring ist $(R, + )$ keine abelsche Gruppe sondern nur ein kommutativer Monoid. Zusätzlich muss $a\cdot0=0\cdot a=0$ für alle $a\in R$ gelten. Auch hier unterscheiden sich die verwendeten Definitionen. Manchmal wird nur eine Halbgruppe, manchmal die Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Multiplikation gefordert.
Fastring: Bei einem Fastring wird nur eines der beiden Distributivgesetze gefordert und die Addition muss nicht kommutativ sein.

Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf bitte mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung.

--Blaufisch 10:32, 1. Mai 2007 (CEST)