Rotation (Mathematik)

Dieser Artikel behandelt die Rotation in der (höheren) Mathematik. Für die Rotation von Körpern siehe Drehung und Rotation (Physik).

Unter der Rotation versteht man in der Mathematik eine bestimmte Funktion eines Vektorfeldes. Interpretiert man dieses Feld als Strömungsfeld, so gibt die Rotation für jeden Ort an, wie schnell und um welche Achse ein mitschwimmender Körper rotieren würde. Dieser Zusammenhang ist namensgebend, im Allgemeinen muss jedoch keine Rotation im Sinne einer Drehbewegung im Spiel sein.

Hier einige praktische Beispiele:

Ein Wirbelsturm rotiert um sein so genanntes Auge, und ein Vektorfeld, das die Windgeschwindigkeiten eines Wirbelsturms angibt, hat eine von Null verschiedene Rotation im Auge, und möglicherweise noch an anderen Stellen.
Ein Vektorfeld, das die Geschwindigkeit jedes Punktes einer rotierenden Scheibe angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von Null verschiedene Rotation.
Das Vektorfeld einer Autobahn, deren Spuren von rechts nach links ansteigende Fahrzeuggeschwindigkeiten aufweisen, hat an den Mittellinien zwischen den Spuren eine von Null verschiedene Rotation.

Die Rotation lässt sich formal als Ableitungsoperator interpretieren, und gehört zusammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Gradient und Divergenz der Vektoranalysis an, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Verallgemeinerung auf Tensorfelder beliebiger Stufe
3 Rechenregeln
4 Integralsatz von Stokes
5 Anwendung

Definition

Die Rotation eines dreidimensionalen Vektorfeldes $F=\left(F_x, F_y, F_z\right)$ ist wiederum ein dreidimensionales Vektorfeld. Es wird geschrieben als

$\operatorname{rot}\vec F = \nabla\times\vec F$

wobei $\nabla$ der Nabla-Operator und rot das Funktionssymbol der Rotation ist. Das Kreuz bezeichnet dabei formal ein Kreuzprodukt, so dass die Rotation in kartesischen Koordinaten folgendermaßen definiert ist

$\begin{matrix} \operatorname{rot}: & C^{\infty}(\R^3,\R^3) & \rightarrow & C^{\infty}(\R^3,\R^3) \\ & \vec F=\left(F_x, F_y, F_z\right) & \mapsto & \nabla\times\vec F = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} F_x\\ F_y\\ F_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\frac{\partial F_z}{\partial y}} - {\frac{\partial F_y}{\partial z}} \\ {\frac{\partial F_x}{\partial z}} - {\frac{\partial F_z}{\partial x}} \\ {\frac{\partial F_y}{\partial x}} - {\frac{\partial F_x}{\partial y}} \end{pmatrix} \end{matrix}$

Alternativ lässt sich die Rotation auch als formale Determinante formulieren

$\nabla\times\vec F = \begin{vmatrix} \vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$

In Kugelkoordinaten mit $(r \, \theta \, \phi)$ lautet die Rotation:

$\operatorname{rot}\vec F = \begin{pmatrix} \frac{1}{r \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( F_\phi \sin \theta \right) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \phi } \right] \\ \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial F_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\phi \right) \\ \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\theta \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right] \end{pmatrix}$

In Zylinderkoordinaten mit $(r \, \varphi \, z)$ :

$\operatorname{rot}\vec F = \begin{pmatrix} \frac 1 r \frac {\partial F_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial F_\varphi}{\partial z} \\ \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r} \\ \frac 1 r \left[ \frac \partial {\partial r} \left( r \cdot F_\varphi \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right] \end{pmatrix}$

Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Feld von Pseudovektoren. Das bedeutet, dass die Rotation eines Vektorfeldes beim Wechsel von einem linkshändigen Koordinatensystem zu einem rechtshändigen das Vorzeichen wechselt. Analog ist die Rotation eines Pseudovektorfeldes ein Vektorfeld.

Ein Vektorfeld, dessen Rotation überall null ist, nennt man wirbelfrei.

Verallgemeinerung auf Tensorfelder beliebiger Stufe

Ein Vektorfeld kann als Tensorfeld 1. Stufe aufgefasst werden. Durch die Einsteinsche Summenkonvention und mit dem Levi-Civita-Symbol lässt sich die Rotation eines Vektorfeldes wie folgt schreiben:

$(\nabla\times\vec F)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_k$

Die Verallgemeinerung auf Tensoren $F_{j_1,j_2,\dots,j_N}$ beliebiger Stufe ist dann offensichtlich:

$(\nabla\times F)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_{j_1,j_2,\dots,j_{N-1},k}$

Rechenregeln

Für alle Konstanten $c\in\R$ , skalaren Felder $u\;$ sowie Vektorfelder $\vec{F}$ und $\vec{G}$ gilt:

Linearität

$\operatorname{rot}(c \cdot\vec{F}) = c\cdot\operatorname{rot}\vec{F}$
$\operatorname{rot}(\vec{F}+\vec{G}) =\operatorname{rot}\vec{F}+\operatorname{rot}\vec{G}$

Regeln (Differentialformen)

$\operatorname{rot}~\operatorname{grad}u=\vec 0$
$\operatorname{rot}(u\cdot\vec{F}) = u\cdot\operatorname{rot}\vec{F} + \operatorname{grad}u \times\vec{F}$

Weitere Produktregeln

$\operatorname{rot}(\vec{F}\times\vec{G}) = \left(\vec{G}\cdot\operatorname{grad}\right)\vec{F} - \left(\vec{F}\cdot\operatorname{grad}\right)\vec{G} + \vec{F}\operatorname{div}\vec{G} - \vec{G}\operatorname{div}\vec{F}$
$\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F})=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec{F}) - \Delta \vec{F}$

Integralsatz von Stokes

Eine wichtige Rolle in der Vektoranalysis spielt die Rotation beim Satz von Stokes. Dieser erlaubt die Umwandlung eines Oberflächenintegrals in ein Kurvenintegral:

$\int_{M} (\operatorname{rot}\vec {F}) \cdot \mathrm{d}\vec {A} = \oint_{\partial M} \vec {F} \cdot \mathrm{d}\vec {r}$

Anwendung

Die Rotation in allgemein orthogonalen Koordinaten:

$\vec{\nabla} \times\vec{V}= \frac{\vec{e}_{q_{1}}} {h_2h_3} \left[ \frac{ \partial (h_3V_3)}{\partial q_2} - \frac{ \partial (h_2V_2)}{\partial q_3}\right] + {}$ $\frac{\vec{e}_{q_{2}}} {h_1h_3} \left[ \frac{ \partial (h_1V_1)}{\partial q_3} - \frac{ \partial (h_3V_3)}{\partial q_1}\right] + {}$ $\frac{\vec{e}_{q_{3}}} {h_1h_2} \left[ \frac{ \partial (h_2V_2)}{\partial q_1} - \frac{ \partial (h_1V_1)}{\partial q_2}\right]$ mit $h_a = {\left| {\frac{\partial{\vec{r}}}{\partial{q_a}}} \right| }$