Rotationskörper

Rotationskörper werden in der Geometrie Körper genannt, die durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Rotationsachse gebildet werden. Sowohl Kurve als auch Achse liegen in einer Ebene, haben allerdings keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Ein bekannter Rotationskörper ist der Torus. Er wird durch die Rotation eines Kreises um eine Achse gebildet, die seinen Mittelpunkt nicht schneidet. Auch Körper wie Zylinder und Hohlzylinder zählen zu den Rotationskörpern.

Das Volumen und die Oberfläche werden mit den so genannten Guldinschen Regeln (benannt nach dem Mathematiker und Astronomen Paul Guldin) errechnet. Bereits in der Antike waren diese als Baryzentrische Regeln bzw. Zentrobarische Regel bekannt und wurden vom griechischen Mathematiker Pappos von Alexandria beschrieben.

Darstellung einer Rotation einer Sinus-Kurve

Inhaltsverzeichnis

1 Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers
2 Herleitung der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers
3 Erstes Guldin'sches Postulat
4 Zweites Guldin'sches Postulat
5 Keplersche Fassregel
6 Einzelne Rotationskörper
7 Weblinks

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation des Graphen der Funktion f im Intervall [a,b] um die x-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:

$V = \pi \cdot \int_{a}^{b} f(x)^2 \mathrm{d}x$

Rotation um y-Achse:
Bei Rotation um die y-Achse muss man $y = f (x)$ umformen zur Umkehrfunktion $x = f - 1 (y)$ . Diese existiert, wenn f stetig und streng monoton ist.

$V = \pi \cdot \int_{f(a)}^{f(b)} (f^{-1}(y))^2 \mathrm{d}y$

Wenn man hier

x = f - 1 (y)

substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse

$V = \pi \cdot \int_{f(a)}^{f(b)} x^2 \mathrm{d}y = \pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot f'(x)\mathrm{d}x$ .

Siehe auch: Mantelfläche

Herleitung der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers

Der Rauminhalt des Rotationskörpers auf der x-Achse im Intervall [a;b] wird in n kleine Zylinder mit der Querschnittsfläche $r^2 \cdot \pi$ (Kreisfläche) und der Höhe $\Delta x={b-a\over n}$ zerlegt. Anschließend lässt man die Anzahl der Zylinder gegen unendlich streben $n \to \infty$ , wobei die Höhe der kleinen Zylinder gegen 0 strebt $\Delta x \to 0$ . Schließlich müssen nur mehr alle Zylinder summiert werden.

r = f (x i)

Der Radius ist gleich dem Funktionswert von

x i

$V = \sum_{i=1}^{n} f^2(x_i) \cdot \pi \cdot \Delta x$

Das sind die Riemann-Summen.

$V = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f^2(x_i) \cdot \pi \cdot \Delta x$

$V = \int_a^b f^2(x) \cdot \pi \mathrm{d}x$

$π$ kann man jetzt noch vor das Integralzeichen stellen, dann erhält man die Formel:

$V = \pi \cdot \int_a^b f^2(x) \mathrm{d}x = \pi \cdot \int_a^b y^2 \mathrm{d}x$

Erstes Guldin'sches Postulat

Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie und dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes der Umfangslinie (Linienschwerpunkt) erzeugten Kreises:

$M = L \cdot 2 \pi R$

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt das:

bei Rotation um die x-Achse:

$M = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x$

bei Rotation um die y-Achse:

$M = 2\pi\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^2}\mathrm{d}y$

Beispiel: Oberfläche eines Torus:

$M = 2 \pi r \cdot 2 \pi R = 4 \pi^2 r R$

$M$ = Oberfläche
$L$ = Länge der erzeugenden Linie
$R$ = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Fläche (Kurvenschwerpunkt!)
$r$ = Radius des erzeugten Kreises

Zweites Guldin'sches Postulat

Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugten Kreises:

$V = A \cdot 2 \pi R$

Beispiel: Volumen eines Torus:

$V = \pi r^2 \cdot 2 \pi R = 2 \pi^2 r^2 R$

$V$ = Volumen
$A$ = Flächeninhalt der erzeugenden Fläche
$R$ = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Fläche
$r$ = Radius des erzeugten Kreises

Siehe auch: Rotationsfläche
Siehe auch: Mantelfläche

Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel gibt

$V = \frac{h}{6} \cdot \left(q(0) + 4q \left( \frac{h}{2} \right) + q(h)\right)$

als Näherungswert für das Volumen eines Körpers, dessen Querschnitt an drei Stellen bekannt ist, an. Ist der Körper ein Rotationskörper, so gilt bei Rotation um die x-Achse:

$V = \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \mathrm{d}x$