Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)
Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis-Claude Clairaut) ist eine Aussage der Klassischen Differentialgeometrie.
Aussage
Sei S eine Rotationsfläche und 
eine reguläre Kurve auf S. Es bezeichne r(s) den Radius des Breitenkreises durch 
sowie α(s) den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:
- Ist c eine geodätische Linie, so ist die Funktion
längs c konstant. - Ist längs c konstant und c kein Breitenkreis, so ist c eine geodätische Linie.
Beweis
Sei 
eine Parametrisierung der Fläche S, wobei wir o. B. d. A. v als Bogenlänge der erzeugenden Kurve (r(v),h(v)) annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der Ersten Grundform zu
- E(u,v) = (r(v))2, F(u,v) = 0, G(u,v) = 1.
Sei o. B. d. A. nach der Bogenlänge s parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der u-Linien (Breitenkreise) und v-Linien (Meridiane):
Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve 
zu
(1).
Differenzieren der Funktion 
liefert:
.
Mit 
folgt aus (1)
und damit die Behauptung.
Anwendung in der Landesvermessung
In der Landesvermessung stellt sich das Problem, zu gegebenem Anfangspunkt und -richtung eine geodätische Linie zu berechnen, die sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.
Seien a und b die Halbachsen des Referenzellipsoids und e2 = (a2 − b2) / a2 das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite φ beträgt
.
Als Azimut bezeichnet man den Schnittwinkel der Linie mit der Nordrichtung. Damit folgt aus dem Satz von Clairaut die Konstanz von
entlang der Geodätischen. Führt man die reduzierte Breite β gemäß der Formel 
ein, so folgt die Konstanz von
Dieser Wert heißt die Clairautsche Konstante der geodätischen Linie.
Adelung-1793: Satz, der · Racketen-Satz, der
Brockhaus-1911: Fugierter Satz
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Pierer-1857: Clairaut · Grauer Satz · Ptolemäischer Satz · Einsömmeriger Satz · Fauler Satz
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