Satz von Gauß-Bonnet

Der Satz von Gauß-Bonnet (nach Carl Friedrich Gauß und Pierre Ossian Bonnet) ist eine wichtige Aussage über Flächen, die ihre Geometrie mit ihrer Topologie verbindet, indem eine Beziehung zwischen Krümmung und Euler-Charakteristik hergestellt wird. Dieser Satz wurde unabhängig von beiden Mathematikern gefunden. Man beachte, dass auch französische Geometer ihn mit dem Namen von Gauß und Bonnet bezeichnen.

Definitionen und Satz

Sei $M$ eine kompakte und orientierbare 2-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ . Bezeichne mit $K$ die Gaußkrümmung in den Punkten von $M$ und mit $k g$ die geodätische Krümmung der Randkurve $\partial M$ . Dann gilt

$\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M)$

wobei $χ(M)$ die Euler-Charakteristik von $M$ ist.

Der Satz kann im Besonderen auf Mannigfaltigkeiten ohne Rand angewendet werden. Dann fällt der Term $\int_{\partial M}k_g\;ds$ weg.

Erklärung des Satzes

Verzerrt man die Mannigfaltigkeit, so bleibt ihre Euler-Charakteristik unverändert, im Gegensatz zur Gaußkrümmung an den einzelnen Punkten. Der Satz sagt aus, dass das Integral über die Krümmung, also die Gesamtkrümmung, unverändert bleibt.

Beispiele

Die runde Sphäre $M = S 2$ mit Radius 1 hat in jedem Punkt Gauß-Krümmung 1. Das Integral über die Gauß-Krümmung entspricht also ihrer Fläche, $4π$ . Andererseits ist die Euler-Charakteristik 2, da man die Sphäre als Verklebung von zwei (runden) Flächen entlang einer Kante mit einer Ecke bekommt (also 2-1+1=2).

Verallgemeinerungen

Der Satz lässt sich auf $n$ Dimensionen verallgemeinern. Man kann ihn ebenfalls auf simpliziale Flächen verallgemeinern, wobei man den Winkeldefekt einer Ecke als diskrete Gausskrümmung definiert.

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