Schiefer Wurf

Unter dem Schiefen Wurf versteht man den Bewegungsvorgang, den ein Körper (unter Vernachlässigung der Luftreibung) vollzieht, wenn er unter einem Winkel relativ zum Horizont abgeworfen wird. Dieser Vorgang lässt sich nach dem Superpositionsprinzip in zwei Teilbewegungen zerlegen.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Analyse der Bewegungen
- 1.1 In waagerechter x-Richtung
- 1.2 In senkrechter y-Richtung
2 Gleichung der Wurfparabel
- 2.1 Wurfweite
- 2.2 Winkel für maximale Wurfweite in Abhängigkeit von Abwurfhöhe und -geschwindigkeit
3 Weblinks

Die Analyse der Bewegungen

In waagerechter x-Richtung

Wurfparabel mit Komponentenzerlegung

Die waagrechte Geschwindigkeit ist wie beim waagerechten Wurf konstant. Sie lässt sich berechnen, indem man die entstehenden Geschwindigkeitsvektoren betrachtet. Sind $v 0$ die Abwurfgeschwindigkeit und $v x$ die Geschwindigkeit in waagrechter Richtung, dann liefern Winkelbeziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck, welches auch durch den Geschwindigkeitsvektor in x-Richtung und dem Geschwindigkeitsvektor in y-Richtung gebildet wird, $v x$ als

$v_x=v_0\cdot\cos(\alpha)\;\;.$

Da es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt, gilt für die Strecke in waagrechter Richtung:

$s=v_x\cdot t=v_0\cdot\cos(\alpha)\cdot t\;\;.$

In senkrechter y-Richtung

Die Geschwindigkeit in senkrechter Richtung ist nicht konstant. Sie kann nach dem Superpositionsprinzip zerlegt werden in eine gleichförmige Bewegung nach oben und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten. Dies entspricht den Gesetzmäßigkeiten des senkrechten Wurfs. Die konstante Geschwindigkeit $v_{y_{h}}$ nach oben wird nun zuerst über Winkelbeziehungen ermittelt. Es ergibt sich

$v_{y_{h}}=v_0\cdot\sin(\alpha)\;\;.$

Für die gleichmäßig nach unten beschleunigte Bewegung gilt, dass die Geschwindigkeit $v_{y_{u}}$ in y-Richtung proportional zur Erdbeschleunigung zunimmt.

$v_{y_{u}}=-g\cdot t\;\;.$

Für die resultierende Geschwindigkeit in senkrechter y-Richtung gilt daher:

$v_y=v_{y_{h}}+v_{y_{u}}=v_0\cdot\sin(\alpha)-g\cdot t\;\;.$

Mit dem Wissen über die gleichförmige Bewegung und über die gleichmäßig beschleunigte Bewegung, erhält man die Strecke nach nachfolgender Formel. Betrachtet man diese mathematisch, so kann man die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit darstellen. Somit ergibt sich die "Strecke" (Höhe!) als Integral der Geschwindigkeit über der Zeit und man erhält:

$h(t)=\int_{}^{} \mathrm{v_y(t)}\, \mathrm{d}t=\int_{}^{} \mathrm{(v_0\cdot\sin(\alpha)-g\cdot t)}\, \mathrm{d}t=v_0\cdot\sin(\alpha)\cdot t-\frac{1}2\cdot g\cdot t^2+h_0\;\;.$

Mehr physikalisch gesehen ergibt sich mit den Weg-Zeit-Gesetzen der oben genannten Bewegungsformen dasselbe:

$h=v_0\cdot\sin(\alpha)\cdot t-\frac{1}2\cdot g\cdot t^2+h_0\;\;.$

Gleichung der Wurfparabel

Um die Kurve, welche bei einem derartigen Wurf entsteht, exakt mathematisch abzubilden, können die gefundenen Abhängigkeiten als Funktionen aufgefasst werden.

Da eine funktionale Abhängigkeit zwischen der waagrechten Strecke (x-Richtung) und der senkrechten Strecke (y-Richtung) gefunden werden soll, bringt man in die Abhängigkeit der Höhe von der Zeit in folgende ebenfalls schon bekannte Abhängigkeit ein:

$s=v_0\cdot \cos(\alpha)\cdot t\Leftrightarrow t=\frac{s}{\cos(\alpha)\cdot v_0}$

$\Rightarrow h(s)=v_0\cdot\sin(\alpha)\cdot\left(\frac{s}{\cos(\alpha)\cdot v_0}\right)-\frac{1}2\cdot g\cdot \left(\frac{s}{\cos(\alpha)\cdot v_0}\right)^2+h_0=s\cdot\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\frac{1}2\cdot g\cdot\left(\frac{s^2}{\cos^2(\alpha)\cdot v_0^2}\right)+h_0=$

$=-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot\cos^2(\alpha)}\cdot s^2+s\cdot\tan(\alpha)+h_0\;\;.$

Das Ergebnis ist eine funktionale Abhängigkeit der Höhe $h = h (s)$ von einer waagerechten Strecke $s$ .

$h=h(s)=-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot\cos^2(\alpha)}\cdot s^2+\tan(\alpha)\cdot s+h_0\;\;.$

Diese Funktionsgleichung ist eine quadratische Funktion. Aus dem Vergleich mit der dazugehörigen allgemeinen Form ergibt sich für die Koeffizienten $a, b, c$ dann:

$a:=-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot\cos^2(\alpha)}\;\;,$

$b:=\tan(\alpha)\;\;,$

$c:=h_0\;\;.$

Wurfweite

Die Wurfweite $S$ ergibt sich als Nullstelle der oben genannten Funktionsgleichung. Diese kann mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen ermittelt werden, insbesondere da die Koeffizienten bereits bekannt sind.

$s_{1;2}=\frac{-\tan(\alpha) \pm \sqrt{\tan^2(\alpha)-4{~\cdot}\left(-\frac{g}{2{\cdot}v_0^2{\cdot}\cos^2(\alpha)}\right){\cdot~}h_0} }{2{~\cdot}\left(-\frac{g}{2{\cdot}v_0^2{\cdot}\cos^2(\alpha)}\right)}\;\;.$

Winkel für maximale Wurfweite in Abhängigkeit von Abwurfhöhe und -geschwindigkeit

Die Berechnung des optimalen Winkels für die maximale Wurfweite in Abhängigkeit von Abwurfhöhe und -geschwindigkeit (bei vernachlässigtem Luftwiderstand) erfolgt durch:

$\alpha_{\rm max}=\arcsin\left(\frac{v_0}{\sqrt{2v_0^2+2gh_0}}\right)$