Schur-Zerlegung

In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Schur-Zerlegung (oder auch Schursche Normalform genannt) eine wichtige Matrix-Zerlegung.

Sie ist benannt nach dem Mathematiker Issai Schur.

Definition

$A$ sei eine quadratische Matrix mit Einträgen aus $\mathbb{K}$ (also $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ , wobei $\mathbb{K}$ entweder für $\mathbb{R}$ oder für $\mathbb{C}$ steht). Zerfällt das charakteristische Polynom von $A$ über $\mathbb{K}$ in Linearfaktoren, so existiert eine unitäre Matrix $U \in \mathbb{K}^{n \times n}$ , sodass

$R = U^* A U\quad$ (

U *

ist die zu

U

adjungierte Matrix)

eine obere Dreiecksmatrix ist.

Bemerkungen

Da $R$ eine obere Dreiecksmatrix ist, kann sie als Summe einer Diagonalmatrix $D$ und einer strikten oberen Dreiecksmatrix $N$ dargestellt werden ( $D, N \in \mathbb{K}^{n \times n}$ ):

R = D + N

Es gilt dann:

$D$ ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente und wird als der Diagonalanteil der Schur-Zerlegung bezeichnet.
$N$ ist nilpotent, im Allgemeinen nur bezüglich ihrer Frobeniusnorm eindeutig und wird der nilpotente Anteil der Schur-Zerlegung genannt.
Die Frobeniusnorm von $N$ ist genau dann 0, wenn $A$ normal ist.

Wegen der Ähnlichkeit der Ausgangsmatrix $A$ und der oberen Dreiecksmatrix $R$ sitzen in der Diagonale von $R$ die Eigenwerte von $A$ .
Ist $A$ eine normale Matrix, dann ist $R$ sogar eine Diagonalmatrix und die Spaltenvektoren von $U$ sind die Eigenvektoren von $A$ . Die Schur-Zerlegung von $A$ wird dann als Spektralzerlegung von $A$ bezeichnet.
Wenn $A$ positiv definit ist, dann ist die Schur-Zerlegung von $A$ dasselbe wie die Singulärwertzerlegung von $A$ .

Konstruktion einer Schur-Zerlegung

Sei $A\in\mathbb{K}^{n \times n}$ . Zunächst muss ein Eigenwert $λ 1$ und ein entsprechender Eigenvektor $v 1$ zu $A$ gefunden werden. Nun werden $n - 1$ Vektoren $w 2,..., w n$ gewählt, so das $v 1, w 2,..., w n$ eine orthonormale Basis in $\mathbb{K}$ bilden. Diese Vektoren bilden die Spalten einer Matrix $V 1$ . $V_1^* A V_1=\begin{bmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & A_1 \end{bmatrix}$ ,wobei $A 1$ eine $(n-1)\times(n-1)$ Matrix ist.

Nun wird dieser Vorgang für $A 1$ wiederholt. Es entsteht eine unitäre Matrix $V 2$ mit:

$V_2^* A_1 V_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 & * \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$ , wobei $A 2$ eine $(n-2)\times(n-2)$ Matrix ist.

$Q_2^* A Q_2 = \begin{bmatrix} \lambda_1 & * & * \\ 0 & \lambda_2 & * \\ 0 & 0 & A_2 \end{bmatrix}$ , wobei $Q_2 = V_1 \hat{V}_2$ mit $\hat{V}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{bmatrix}.$