Separabel (Topologie)

In der Topologie bezeichnet separabel eine abstrakte Eigenschaft von Räumen, die beispielsweise Beweisführungen erleichtern kann. Wenn $X$ ein seperabler Hilbertraum ist, lässt sich also mit der folgenden Definition jedes $x\ \in X$ beliebig genau durch Elemente $y k$ eines dichten abzählbaren Teilsystems approximieren.

Definition

Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.

Kriterien für separable Räume

Ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis (zweites Abzählbarkeitsaxiom) ist separabel. Man erhält die abzählbar dichte Teilmenge, indem man aus jeder Menge in der Basis einen Punkt auswählt.

Beispiele

Beispiele für separable Räume sind etwa:

Die Räume $\mathbb{R}^n$ sind für $n\in\mathbb{N}$ separabel, da $\mathbb{Q}^n$ abzählbar ist und dicht in $\mathbb{R}^n$ liegt.
Die Räume $L p (Ω)$ mit einer beschränkten, offenen Teilmenge $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ und $1\leq p<\infty$ sind separabel.
Die Folgenräume $\ell^p$ für $1\leq p<\infty$ sind separabel.
Die Räume $C k (Ω)$ sind für natürliches $k$ separabel. Dabei bezeichnet $Ω$ eine offene Teilmenge des $\mathbb{R}^n$ .

Gegenbeispiele

Der Raum der beschränkten Folgen $\ell^{\infty}$ ist nicht-separabel.
Der Raum der fast-periodischen Funktionen ist ein Beispiel eines nicht-separablen Hilbertraums (Der Verweis liefert auch eine genaue Definition dieses Raumes).