Signalanalyse

Grundlagen

Neben statistischen Verfahren wie Mittelwertbildungen und der Berechnung von Standardabweichungen ist bei der Auswertung akustischer und schwingungstechnischer Daten die Anwendung von Signalanalysetechniken von herausragender Bedeutung. Auf der Basis von Frequenzanalysen ermöglichen sie die Beschreibung der Beziehungen zwischen Ein- und Ausgangssignalen eines schwingenden Systems und damit seiner dynamischen Eigenschaften. Handelt es sich bei diesem System z. B. um ein mechanisches Bauteil, so könnte die Eingangsgröße eine anregende Kraft, die Ausgangsgröße die resultierende Oberflächenschnelle an einem Punkt sein.

Die allgemeine Formulierung der Signalanalysetheorie geht von linearen Systemen aus. Durch spezielle Erweiterungen, auf die hier jedoch nicht näher eingegangen werden soll, können jedoch auch nichtlineare Systeme behandelt werden.

Darstellung eines dynamischen Systems mit Eingangs- und Ausgangsgröße

Basis der Signalanalyse ist die Fouriertransformation. Sie ermöglicht die Überführung von Zeitsignalen in den Frequenzbereich durch die Zerlegung der Zeitfunktionen in die Summe einer unendlichen Anzahl harmonischer Einzelfunktionen mit unendlich fein gestaffelten Frequenzen (Fourierintegral). Formulieren lässt sich dieser Zusammenhang für das Zeitsignal x(t) mit dem zugehörigen Fourierspektrum X(f) durch die Gleichung

$X(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-\mathrm{j} 2 \pi f t} \,dt$

Die rechentechnische Darstellung dieser Transformation auf Digitalrechnern wird als Diskrete Fourier-Transformation (DFT) bezeichnet:

$X_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j\frac{2\pi n k}{N}}$ (k=0, 1,....,N-1)

X_k wird als finites Fourierspektrum der diskretisierten Zeitfunktion x_n (N Abtastungen) bezeichnet . Der am häufigsten eingesetzte Algorithmus zu seiner Berechnung ist die Fast-Fourier-Transformation (FFT).

Illustration zur Diskreten Fourier-Transformation für ein Sinus-Signal mit der Frequenz 3,33 kHz (Analysefensterlänge: 0,3 ms, Abtastrate: 20 kHz)

Die numerische Berechnung bringt einige Besonderheiten mit sich, die bei der Signalanalyse beachtet werden müssen.

Durch die zeitdiskrete Abtastung (Diskretisierung) eines Messsignals ergeben sich bei gegenüber dem Frequenzgehalt des Signals zu kleinen Abtastfrequenzen Verzerrungen, die als Bandüberlappung oder Aliasing bezeichnet werden (Nyquist-Shannon-Abtasttheorem). Sie können durch analoge Tiefpassfilterung unterhalb der halben Abtastfrequenz („Anti-Aliasing-Filter“) vermieden werden.
Die Zeitbegrenzung der Abtastung (“Zeit-„ oder „Analysefenster“) führt zum Auftreten von sog. Seitenbändern im Frequenzbereich. Entspricht die Beobachtungsdauer nicht der Periodendauer von im Signal enthaltenen Frequenzen oder deren ganzzahligen Vielfachen, so beeinflussen diese Seitenbänder das diskrete Spektrum z. B. durch das Auftreten zusätzlicher Frequenzkomponenten. Dieses Phänomen wird als Leck- oder Leakage-Effekt bezeichnet. Durch spezielle Bewertungsfunktionen im Zeitfenster (z. B. Hanning-Fenster) können seine Auswirkungen gemindert, jedoch nicht gänzlich vermieden werden.
Die Frequenzdiskretisierung bewirkt (nach Rücktransformation) eine Periodisierung des Zeitsignals, die jedoch meist ohne Bedeutung für die Analyse ist. Aus den unendlich fein gestaffelten Frequenzen des Fourierintegrals werden äquidistante `Frequenzlinien´ mit Δf = 1/T.
Die Digitalisierung des Analogsignals führt zu einer Einschränkung des Dynamikbereiches („Digitalisierungsrauschen“), die sich als umso unbedeutender darstellt, je höher die Auflösung des A/D-Wandlers ist. Wegen der begrenzten Dynamik der analogen Messgeräte braucht dieser Effekt bei guter Aussteuerung während der Digitalisierung meist nicht beachtet zu werden.

Bei Beachtung dieser Besonderheiten stellt die DFT (FFT) ein leistungsfähiges Werkzeug zur Frequenzanalyse dar, das in den vergangenen Jahren analoge Techniken (Filterbänke) fast vollständig verdrängt hat. Auf ihr aufbauend lassen sich mit Hilfe der erweiterten Signalanalysetechniken besonders einfach die Beziehungen verschiedener Signale untereinander (typischerweise eines „Systemeingangs“ und mehrerer „Systemausgänge“) ermitteln. Voraussetzung hierfür ist i.Allg. die parallele Erfassung der Signale.

Im folgenden Bild sind die wichtigsten Signalanalysefunktionen in einem Blockdiagramm dargestellt. Anhand der Verbindungslinien kann prinzipiell der Berechnungsgang für die einzelnen Funktionen verfolgt werden. Im linken Bildteil sind die Zeitfunktionen, im rechten die Frequenzfunktionen angeordnet. Verknüpft sind die beiden Bereiche über die Fouriertransformation F bzw. die inverse Fouriertransformation F^-1, die sich für die Rückrechnung auf das Zeitsignal x(t) durch die Gleichung

$x(t) = \int_{-\infty}^\infty X(f) e^{\mathrm{j} 2 \pi f t} \,df$

beschreiben lässt. Die inverse Fouriertransformation ermöglicht also die Bestimmung einer Zeitfunktion aus deren Fouriertransformierter. Die im Diagramm eingetragenen Vorwärts- und Rücktransformationen können demnach bei Bedarf auch jeweils in der anderen Richtung erfolgen. Weist ein Block mehrere Eingänge auf, so deutet dies auf mehrere Berechnungsmöglichkeiten hin.

Blockdiagramm mit den wichtigsten Signalanalysefunktionen

Signalanalysefunktionen

Die einzelnen Signalanalysefunktionen sind von unterschiedlicher Bedeutung. Herausragend sind das Autoleistungsspektrum, aus dem das RMS-Spektrum berechnet wird, der Frequenzgang, der das Systemverhalten beschreibt und z. B. zur Durchführung der Modalanalyse benötigt wird und die Kohärenz, mit der die Qualität der Analyseergebnisse beurteilt werden kann. Das Cepstrum dient zur Ermittlung von periodischen Anteilen und deren Ordnungen im Signal, ebenso in eingeschränkter Weise die Autokorrelationsfunktion. Mit der Kreuzkorrelationsfunktion lassen sich Laufzeiten zwischen Eingangs- und Ausgangssignal erkennen. Das Kreuzleistungsspektrum besitzt wenig eigene Aussagekraft. Es dient daher meist lediglich zur Bestimmung des Frequenzgangs und der Kreuzkorrelationsfunktion.

Literatur

Randall, R. B.: Frequency Analysis. Kopenhagen: Bruel & Kjaer, 1987, ISBN 8-787-35507-8
Johnson, Keith: Acoustic & Auditory Phonetics, Oxford: Blackwell Publishing, 2003, ISBN 1-4051-0123-7

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