Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt) ist eine mathematische Verknüpfung. Historisch wurde es zuerst für den euklidischen Raum eingeführt. Dort berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec x$ und $\vec y$ nach der Formel

$\vec x \cdot \vec y = | \vec x |\, | \vec y |\,\cos\measuredangle\left( \vec x, \vec y \right)$

Dabei sind $| \vec x |$ und $| \vec y |$ jeweils die Längen der Vektoren. Mit $\cos \measuredangle\left( \vec x, \vec y \right)$ wird der Cosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren bezeichnet. Wie bei der normalen Multiplikation wird das Multiplikationszeichen auch ganz weggelassen: $\vec{x}\cdot \vec{y}$ = $\vec{x}\vec{y}$ .

Es gibt eine weitere einfache Methode das Skalarprodukt zu berechnen, und zwar durch komponentenweises Multiplizieren der Koordinaten der Vektoren und anschließendes Aufsummieren. Diese Berechnungsmethode für das Skalarprodukt wird oft verwendet um Winkel zwischen zwei Vektoren und die Länge von Vektoren zu bestimmen.

In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, wird dieses Konzept verallgemeinert. Ein Skalarprodukt ist dort eine Funktion, die zwei Elementen eines Vektorraums ein Element des dem Vektorraum zugrundeliegenden Skalarkörpers zuordnet. Als Notation verwendet man dann $\langle x,y\rangle$ für das Skalarprodukt zweier Vektoren $x$ und $y$ . Ist die Bedeutung von $x$ und $y$ klar, lässt man die spitzen Klammern auch weg und schreibt $x y$ . Auch die Notation $x T y$ ist gebräuchlich, zeigt sie doch die enge Verwandtschaft zur Matrizenmultiplikation auf.

Im Allgemeinen gibt es auf reellen oder komplexen Vektorräumen mehrere Skalarprodukte, ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

Definition im endlichdimensionalen euklidischen Raum (kanonisches Skalarprodukt oder Standardskalarprodukt)

In der linearen Algebra ist das Skalarprodukt oder innere Produkt zweier Vektoren

$\vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ und $\vec{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$

des $n$ -dimensionalen euklidischen Raumes als jene reelle Zahl definiert, die sich als Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren ergibt:

$\vec{x}\cdot \vec{y} := \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dots + {x_n}{y_n}$ .

Im dreidimensionalen euklidischen Raum berechnet man also das Skalarprodukt von zwei Spaltenvektoren zum Beispiel als

$\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36$ .

Betrag von Vektoren

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, die Länge (den Betrag) eines Vektors zu berechnen:

Für Vektoren des zweidimensionalen Raumes ergibt die Länge wegen des rechtwinkligen Dreiecks nach dem Satz des Pythagoras:

$| \vec{x} | = \sqrt{\vec{x}\cdot \vec{x}} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2}$ .

Dies kann man mit demselben Satz für beliebige Dimensionen erweitern:

$| \vec{x} | = \sqrt{\vec{x}\cdot \vec{x}} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}$ .

Die Längen der beiden Spaltenvektoren im obenstehenden Beispiel betragen also

$\sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14} \approx 3{,}74$

$\sqrt{(-7)^2+8^2+9^2} = \sqrt{194} \approx 13{,}93$

Winkelberechnung

Im euklidischen Raum gilt die Formel aus der Einleitung (eine Begründung für diese Formel findet sich weiter unten)

$\vec{x}\cdot \vec{y} = |\vec{x} | | \vec{y} | \cos \measuredangle \left(\vec{x},\vec{y}\right)$

Damit lässt sich der Winkel zwischen den Vektoren im obenstehenden Beispiel berechnen:

$\measuredangle\left(\vec{x},\vec{y}\right)=\arccos\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\left|\vec{x}\right|\,\left|\vec{y}\right|}=\arccos\frac{36}{3{,}74\cdot 13{,}93} \approx 46{,}3^\circ$

Grundlegende Eigenschaften

Es gilt

$\vec{x}\cdot \vec{x} \geq 0$ .

Deswegen ist

$| \vec{x} | = \sqrt{\vec{x}\cdot \vec{x}}$ .

immer reell.

Sind zwei Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$ parallel, so gilt

$\vec{x}\cdot \vec{y} = | \vec{x} | \cdot | \vec{y} |$ .

Stehen zwei Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$ aufeinander senkrecht, so gilt

$\vec{x}\cdot \vec{y} = 0$ .

(Damit lässt sich in einfacher Weise überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht stehen.)

Ist einer der beiden Vektoren ein Einheitsvektor, so ergibt das Skalarprodukt mit einem anderen Vektor die Länge der Projektion dieses Vektors auf die vom Einheitsvektor definierte Gerade.

Definition des Standardskalarproduktes im komplexen Vektorraum

Man definiert im Fall des komplexen Vektorraums $\mathbb{C}^n$ über dem Körper $\mathbb{C}$ das Standardskalarprodukt für alle $\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{C}$ folgendermaßen:

$\vec{x}\cdot \vec{y} := \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i} = {x_1}\overline{y_1}+{x_2}\overline{y_2}+\dots + {x_n}\overline{y_n}$

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet. Alternativ könnte man auch

$\vec{x}\cdot \vec{y} := \sum_{i=1}^n \overline{x_i}y_i = \overline{x_1}{y_1}+\overline{x_2}{y_2}+\dots + \overline{x_n}{y_n}$

definieren. Beide Definitionen sind gleichwertig, denn das eine Skalarprodukt ist die komplexe Konjugation des anderen. In der Praxis ist es aber zweckmäßig, sich auf eine einzige Definition zu einigen, wobei in der Mathematik die Version $\sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}$ bevorzugt wird, in der Physik hingegen die Version $\sum_{i=1}^n \overline{x_i} y_i$ . Für beide Definitionen gilt $\vec{x}\cdot \vec{y} \in \mathbb{C}$ und wie im Reellen $\vec{x}\cdot \vec{x} \geq 0$ , da aufgrund der Definition $\vec{x}\cdot \vec{x} \in \mathbb{R}$ ist und im Gegensatz zu $\mathbb{C}$ auf $\mathbb{R}$ die Ordnungsrelation $\geq$ definiert ist.

Eigenschaften

Während das Skalarprodukt im reellen Fall symmetrisch ist ( $\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle$ ), ist es im komplexen Fall hermitesch ( $\langle x,y \rangle=\overline{\langle y,x \rangle}$ ).
Das Skalarprodukt ist nicht assoziativ (und kann es im eigentlichen Sinne auch gar nicht sein, weil sein Wert ein Skalar und nicht wieder ein Vektor ist).
Das Skalarprodukt ist distributiv bezüglich der Addition und Subtraktion.

Allgemeine Definition

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum V ist eine symmetrische positiv definite Bilinearform , d.h. für und gelten die folgenden Bedingungen:
1. bilinear:
  - $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
  - $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
  - $\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle$
2. symmetrisch: $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$
3. positiv definit: $\langle x,x\rangle\geq0,$ und $\langle x,x\rangle=0$ genau dann, wenn $x = 0$
Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum V ist eine hermitesche positiv definite Sesquilinearform , d.h. für und gelten die folgenden Bedingungen:
1. sesquilinear:
  - $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
  - $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
  - $\langle x,\lambda y\rangle=\bar\lambda\langle x,y\rangle=\langle\bar\lambda x,y\rangle$
2. hermitesch: $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$
3. positiv definit: $\langle x,x\rangle\geq0$ , und $\langle x,x\rangle=0$ genau dann, wenn $x = 0$ . (Dass $\langle x,x\rangle$ reell ist, folgt aus Bedingung 2.)

Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein inneres Produkt definiert ist, heißt Innenproduktraum oder Prähilbertraum; ist er darüber hinaus auch noch vollständig bezüglich der durch das innere Produkt induzierten Norm, wird er als Hilbertraum bezeichnet.

Abweichende Definitionen:

Oft wird jede symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen „positiv definite Skalarprodukte“.
Im komplexen Fall ließe sich das Skalarprodukt alternativ als semilinear im zweiten und linear im ersten Argument definieren. In der Physik wird jedoch die obige Variante durchgängig benutzt (siehe Bra- und Ket-Vektoren). Siehe hierzu auch den Abschnitt „Standardskalarprodukt als Matrizenprodukt“ weiter unten.

Abgrenzung zu anderen Produkten

Das Skalarprodukt ist von mehreren anderen Produkten zu unterscheiden, die in einem Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ definiert sein können:

Skalare Multiplikation

Das Skalarprodukt ist eine Funktion von $V \times V$ nach $K$ . Die skalare Multiplikation, also die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, ist eine Funktion von $K \times V$ nach $V$ und ist per Definition in jedem Vektorraum definiert.

Kreuzprodukt

Wenn der Vektorraum die Dimension $n = 3$ hat, kann man ferner ein Vektorprodukt, auch Kreuzprodukt genannt, definieren, das eine Funktion von $V \times V$ nach $V$ ist. (In höherdimensionalen Räumen hat man eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts, das dann mehr als zwei Vektoren verknüpft.)

Äußeres Produkt

Das äußere Produkt ist eine Verknüpfung für Multilinearformen. Manchmal wird auch das Kreuzprodukt äußeres Produkt genannt.

Spatprodukt

Das Spatprodukt in einem dreidimensionalen Raum schließlich entsteht durch Verknüpfung von Skalar- und Vektorprodukt; es ist eine dreistellige Funktion von $V \times V \times V$ nach $K$ .

Standardskalarprodukt als Matrizenprodukt

Das Skalarprodukt lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als $n \times 1$ -Matrix interpretiert: Im reellen Fall gilt

$\langle x, y\rangle = x^Ty = y^Tx$ ,

wobei $T$ für die transponierte Matrix steht.

Im komplexen Fall gilt (für den links linearen, rechts sesquilinearen Fall)

$\langle x, y\rangle_A = y^{\,H}x$ ,

wobei $H$ für die hermitesch adjungierte Matrix steht.

Komponentenweises Produkt

Das komponentenweise Produkt zweier Vektoren wird in manchen Programmiersprachen (z. B. MATLAB) mit „.*“ bezeichnet, z. B.

$\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \,\,{.*}\, \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ 16 \\ 27 \end{pmatrix}$ .

In der Mathematik gibt es keine spezielle Notation dafür, insbesondere spielt das komponentenweise Produkt in der linearen Algebra keine besondere Rolle, da es wesentlich von der gewählten Basis abhängt und es daher keine anschauliche geometrische Interpretation dafür geben kann.

Skalarprodukt und Winkel

Winkelberechnung im euklidischen Raum

Das Skalarprodukt ist ursprünglich im Rahmen der analytischen Geometrie im euklidischen Raum eingeführt worden. So ist es mit Hilfe des Skalarproduktes beispielsweise möglich, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen: Das Skalarprodukt ergibt sich nämlich auch aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von diesen eingeschlossenen Winkels gemäß der Formel

$\vec{x}\cdot \vec{y} = |\vec{x} | \cdot | \vec{y} | \cdot \cos \measuredangle \left(\vec{x},\vec{y}\right)$

Um dies zu zeigen, mögen drei Vektoren, $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ des euklidischen Raumes betrachtet werden.

Wegen des Kosinussatzes ist die Länge des dem Winkel $γ$ gegenüberliegenden Vektors

$|\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos(\gamma)$

Da sich $\vec{c}$ als $\vec{b}-\vec{a}$ ergibt, erhält man

$|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos(\gamma)$ .

Berechnet man nun die Länge über das Skalarprodukt, so erhält man

$\left(\vec{b}-\vec{a}\right)\cdot\left(\vec{b}-\vec{a}\right) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b}-2|\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos(\gamma)$ .

Aus den Rechenregeln für das Skalarprodukt ergibt sich dann

$\vec{b}\cdot\vec{b} -2 \vec{a}\cdot\vec{b}+ \vec{a}\cdot\vec{a} = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b}-2|\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos(\gamma)$

und daraus die gewünschte Beziehung

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos(\gamma)$ .

Skalarprodukt und Orthogonalität

Aus der Winkeldarstellung des Skalarprodukts folgt, dass das Skalarprodukt zweier von Null verschiedener Vektoren genau dann Null ist, wenn der Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels Null ist, wenn also die beiden Vektoren zueinander orthogonal sind.

Winkeldefinition im abstrakten Fall

Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung besagt, dass für das abstrakte Skalarprodukt die Beziehung

$\left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

gilt, die im Falle $x,y\neq 0$ zu

$\left|\frac{\langle x,y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y,y\rangle}}\right|\leq 1$

umgeformt werden kann. Daher lässt sich auch im abstrakten Fall mittels

$\cos\varphi=\frac{\langle x,y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y,y\rangle}}$

der Winkel $\varphi$ zweier Vektoren definieren.

Berechnung des Skalarprodukts mit Hilfe seiner Komponenten

In einem endlichdimensionalen Vektorraum ist das in der Einleitung definierte Skalarprodukt

$\langle x, y\rangle := \sum_{i=1}^n \overline{x_i}y_i = \overline{x_1}y_1+\overline{x_2}y_2+\dots + \overline{x_n}y_n$

nicht die einzige Funktion, die der abstrakten Definition des inneren Produkts entspricht. So genügt beispielsweise auch die Funktion

$\langle x, y\rangle := x^{\,H}Ay$

für jede positiv definite, hermitesche Matrix $A$ der abstrakten Definition eines inneren Produkts. Lässt sich nun aber zu einem gegebenen inneren Produkt eine Orthonormalbasis finden, also eine Menge von Vektoren $e_1,e_2,\dots,e_n$ mit

$\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$ ,

wobei

$\delta_{ij}=\begin{cases}1 \qquad \textrm{falls} \quad i=j \\ 0 \qquad \textrm{sonst}\end{cases}$

das Kronecker-Delta darstellt, und kann man

x =	∑	x_ie_i
	i

und

y =	∑	y_je_j
	j

in dieser Basis darstellen, so erhält man aus den Rechenregeln des inneren Produktes

$\langle x,y\rangle=\left\langle\sum_i x_ie_i,\sum_j y_je_j\right\rangle=\sum_i \overline{x_i} \sum_j y_j \langle e_i, e_j\rangle=\sum_i \overline{x_i} y_i$ ,

also genau die in der Einleitung definierte Berechnung des Skalarprodukts mit Hilfe der Komponenten der beiden Vektoren $x$ und $y$ . Im endlichdimensionalen Fall lässt sich zeigen, dass es stets möglich ist, eine solche Orthonormalbasis zu finden, beispielsweise über die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung.

Der Begriff der Orthonormalbasis und die Berechnung des inneren Produkts mit Hilfe der Komponenten der beiden Argumente lassen sich auf unendlichdimensionale Räume verallgemeinern, wobei die Vektoren üblicherweise nur als eine unendliche Summe von Vektoren aus der Orthonormalbasis dargestellt werden können und das innere Produkt daher ebenfalls eine unendliche Summe wird. Die Orthonormalbasis ist also keine Basis im Sinne der linearen Algebra, die eine Darstellung jedes Vektors als endliche Summe von Basisvektoren ermöglicht. Zur besseren Unterscheidung wird daher im unendlichdimensionalen Fall die Basis im Sinne der linearen Algebra als Hamelbasis bezeichnet.

Skalarprodukt und unitäre Transformationen

Aus der Darstellung des Skalarprodukts mittels Winkel

$\langle x, y\rangle = |x||y| \cdot \cos\measuredangle (x,y)$

folgt geometrisch, dass das Skalarprodukt invariant gegenüber längen- und winkeltreuen Abbildungen sein muss. Dies lässt sich auch analytisch nachrechnen. Längen- und winkeltreue Abbildungen werden durch unitäre Matrizen dargestellt, das sind Matrizen mit der Eigenschaft $U U H = I$ oder

$\sum_k u_{ik}\overline{u_{jk}}=\delta_{ij}$ ,

wobei $δ i j$ das Kronecker-Delta darstellt. Für die $i$ -te Komponente von $U x$ und $U y$ gilt

${\left(Ux\right)}_i=\sum_j u_{ij}a_j$

und

${\left(Uy\right)}_i=\sum_k u_{ik}b_k$ .

Somit berechnet sich das Skalarprodukt als

$\langle Ux,Uy\rangle=\sum_i \sum_j \overline{u_{ij}x_j} \sum_k u_{ik}y_k = \sum_j \overline{x_j} \sum_k y_k \sum_i \overline{u_{ij}}u_{ik} = \sum_j \overline{x_j} \sum_k y_k \delta_{jk} = \sum_j \overline{x_j} y_j = \langle x,y\rangle$ ,