Snelliussches Brechungsgesetz

Das snelliussche Brechungsgesetz (auch snelliussches Gesetz, Snell-Gesetz) besagt, dass eine Welle (z. B. ein Lichtstrahl) ihre Richtung ändert - man sagt gebrochen wird - wenn sie von einem transparenten Medium in ein anderes transparentes Medium mit einer anderen Phasengeschwindigkeit übergeht. Das Gesetz gilt für alle Wellenarten. Es besagt nur, in welche Richtung die Welle abgelenkt wird, nicht aber, wie viel von der Welle an dem Übergang zwischen den beiden Medien transmittiert bzw. reflektiert wird. Im Fall der Totalreflexion ist das reelle Brechungsgesetz ungültig. Es muss dann komplex gerechnet werden. Wie viel Licht transmittiert bzw. reflektiert wird, ergibt sich aus den fresnelschen Formeln.

Geschichte

Das Brechungsgesetz scheint zum ersten Mal im 10. Jahrhundert von Ibn Sahl erwähnt worden zu sein. 1601 wurde es von Thomas Harriot wiederentdeckt, aber nicht veröffentlicht. 1618 wurde es von dem Holländer Willebrord van Roijen Snell und fast zur gleichen Zeit von René Descartes beschrieben.

Beschreibung

Snell-Brechungsgesetz für die Einfallswinkel, und Sonderfall bei „negativer“ Brechzahl (unten).

Hinweis: Die Ein- bzw. Ausfallswinkel werden zum Lot auf die Oberfläche angegeben. Da hier aber nicht die Richtung des Lichtes, sondern die der Wellenfront eingezeichnet ist, die senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, sind die Winkel

δ 1

bzw.

δ 2

von der Wellenfront zur Oberfläche eingezeichnet.

Das nebenstehende Bild zeigt einen Lichtstrahl, der aus dem Medium₁ (z. B. Luft) auf die Grenzfläche eines Mediums₂ (z. B. Glas) einfällt. Er ist dabei um den Winkel $δ 1$ gegen das Einfallslot geneigt. Ein Teil des Lichtstrahls wird an der Oberfläche reflektiert, der Rest tritt unter Richtungsänderung (Brechung) und läuft dort unter dem Winkel $δ 2$ gegen das Lot weiter. Dieser Vorgang wird durch das Snell-Gesetz beschrieben.

Licht bewegt sich in einem isotropen Medium mit einer von der Brechzahl abhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeiten.

$n_1 = \frac{c_0}{c_1}$ bzw. $n_2 = \frac{c_0}{c_2}$ ,

d. h., die Brechzahl n gibt das Verhältnis der Phasengeschwindigkeit $c 0$ von Licht im Vakuum zur Phasengeschwindigkeit $c n$ von Licht in Materie an. Dabei ist die Brechzahl eine von der Wellenlänge abhängige Materialkonstante, die bei der Brechung eine Aufspaltung der unterschiedlichen Wellenlängen des einfallenden Strahls bewirkt (vgl. Dispersion).

Betrachtet man zwei parallel einfallende Lichtstrahlen an einer idealen Grenzfläche zweier Medien, ergibt sich geometrisch für den zweiten Strahl eine zusätzlichen Wegstrecke $λ 1 = c 1 t$ im Medium 1 sowie für den ersten Lichtstrahl $λ 2 = c 2 t$ im Medium 2 (hierbei ist c_1,2 – Ausbreitungsgeschwindigkeiten im jeweiligen Medium; t die zusätzliche Laufzeit). Über Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich:

$\sin(\delta_1) = \frac{\lambda_1}{\overline {AB'}}$ bzw. $\sin(\delta_2) = \frac{\lambda_2}{\overline {AB'}}$

wobei $δ 1$ bzw. $δ 2$ der Ein- bzw. Ausfallswinkel und $\overline {AB'}$ der Gangunterschied der beiden Lichtstrahlen ist.

Ersetzt man den Gangunterschied $\overline {AB'}$ in Medium 1 durch den Zusammenhang in Medium 2, ergibt sich:

$\frac{\sin(\delta_1)}{\sin(\delta_2)} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$

Mit den Zusammenhängen für die Wegstecke und der abhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit erhält man:

$\frac{\sin(\delta_1)}{\sin(\delta_2)}= \frac{c_1 t}{c_2 t} = \frac{n_2}{n_1}$

wobei n₁ und n₂ die einheitenlosen Brechzahlen der jeweiligen Medien sind.

Somit erhält man folgenden grafischen Zusammenhang zwischen den Winkeln $δ 1$ und $δ 2$ :

Winkelabhängigkeit bei der Brechung für die Medien Luft, Wasser und Glas

Herleitung mithilfe des fermatschen Prinzips

Herleitung aus dem fermatschen Prinzip

Das snelliussche Brechungsgesetz ist eine Folgerung des fermatschen Prinzips. Der Beweis berechnet den optischen Weg (OW) zwischen zwei Punkten A (im Medium 1) und B (im Medium 2) in Abhängigkeit von der Lage von $x 1$ und setzt dann die Ableitung null (Forderung des fermatschen Prinzips).

$OW(A \rightarrow B) = n_1l_1 + n_2l_2$

Nach dem Satz des Pythagoras folgt:

$n_1l_1 + n_2l_2 = n_1\sqrt{{h_1}^2 + {x_1}^2} + n_2\sqrt{{h_2}^2 + (d-{x_1})^2}$

Setzt man dessen Ableitung nach $x 1$ null, erhält man

$\frac{\mathrm{d}OW}{\mathrm{d}{x_1}} = n_1 \frac{{x_1}}{\sqrt{{h_1}^2 + {x_1}^2}} - n_2\frac{d-{x_1}}{\sqrt{{h_2}^2 + (d-{x_1})^2}}$

$= n_1 \frac{{x_1}}{l_1} - n_2\frac{d-{x_1}}{l_2} = n_1\sin(\delta_1) -n_2\sin(\delta_2) = 0$

und daher $n 1 sin(δ 1) = n 2 sin(δ 2)$ was der oben genannten Formulierung entspricht.

Eine anschauliche Deutung ist die folgende: Das Licht wählt den Weg, auf dem es am schnellsten von Punkt A zum Punkt B kommt. Ein Beispiel hierfür ist etwa der Rettungsschwimmer, der sich am Strand schneller fortbewegen kann als im Wasser. Welchen Weg muss er von A aus nehmen, um möglichst schnell bei dem in Not geratenen Schwimmer B anzukommen? Es ist nicht der direkte Weg von A nach B, da er dann sehr weit im langsameren Medium (Wasser) unterwegs ist. Es ist auch nicht der Weg, bei dem der Rettungsschwimmer senkrecht zum Strand in Richtung B schwimmt. Der schnellste Weg liegt dazwischen.

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