Sobel-Operator

Der Sobel-Operator ist ein einfacher Kantendetektions-Filter, der in der Bildverarbeitung häufig Anwendung findet und dort mithilfe der Faltung als Algorithmus eingesetzt wird (Sobel-Algorithmus). Dieser berechnet die erste Ableitung der Bildpunkt-Helligkeitswerte, wobei gleichzeitig orthogonal zur Ableitungsrichtung geglättet wird.

Der Algorithmus nutzt zur Faltung eine $3 \times 3$ -Matrix (Faltungsmatrix), die aus dem Originalbild ein Gradienten-Bild erzeugt. Mit diesen werden hohe Frequenzen im Bild mit Grauwerten dargestellt. Die Bereiche der größten Intensität sind dort, wo die Helligkeit des Originalbildes sich am stärksten ändert und somit die größten Kanten darstellt. Daher wird zumeist nach der Faltung mit dem Sobeloperator eine Schwellwert Funktion angewandt. Der Algorithmus kann allerdings auch auf andere 2-Dimensionale Informationen angewandt werden.

Wenn wir das Originalbild als Matrix $A$ definieren, dann können wir mittels der Sobeloperatoren $\mathbf{S_x}$ und $\mathbf{S_y}$ die gefalteten Resultate $\mathbf{G_x}$ und $\mathbf{G_y}$ berechnen:

$\mathbf{G_x}=\mathbf{S_x}*A = \frac{1}{8}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} * A$

und

$\mathbf{G_y}=\mathbf{S_y}*A = \frac{1}{8}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix} * A$

Eine richtungsunabhängige Information kann man durch die Kombination beider Ergebnisse erhalten: $\mathbf{G} = \sqrt{ \mathbf{G_x}^2 + \mathbf{G_y}^2 }$

Folgendermaßen erhält man die Richtung eines Gradienten: $\mathbf{\Theta} = \operatorname{arctan}\left({ \mathbf{G_y} \over \mathbf{G_x} }\right)$

Hierbei beschreibt der Wert $Θ = 0$ eine vertikale Kante. Positive Werte beschreiben eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

mathematische Definition

$\begin{matrix} \mathbf{S_x} & = & \mathbf{D_{2x}*B_y^{2}}\\ & = & \ ^{-}D_{x}* ^{1}B_xB_y^2\\ & = & \begin{bmatrix}1_{\bullet} & -1 \end{bmatrix}* 1/2 \begin{bmatrix} 1 & 1_{\bullet} \end{bmatrix} * \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\\ & = & 1/2 \begin{bmatrix}1 & 0 & -1\end{bmatrix}\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\\ & = & \frac{1}{8}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \mathbf{S_y} & = & \mathbf{D_{2y}*B_x^2}\\ & = & \ ^{-}D_{y}*^{1}B_{y}*B_x^2\\ & = & \begin{bmatrix}1_{\bullet} \\ -1 \end{bmatrix}* 1/2 \begin{bmatrix}1 \\ 1_{\bullet} \end{bmatrix} \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\\ & = & 1/2 \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\\ & = & \frac{1}{8}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix} \end{matrix}$