Stöchiometrie

Die Stöchiometrie ist eines der grundlegendsten und einfachsten mathematischen Hilfsmittel in der Chemie. Sie beruht auf dem Massenerhaltungssatz und beschäftigt sich mit der Frage, welche quantitativen Informationen aus einer Reaktionsgleichung gewonnen werden können. Der Begriff Stöchiometrie kommt aus dem Griechischen ("στοιχειον" = Grundstoff und "μετρειν" = messen).

Inhaltsverzeichnis

1 Prinzipien der stöchiometrischen Rechnung (anschaulich)
2 Prinzipien der stöchiometrischen Ausgleichsrechnung (mathematisch)
3 stöchiometrische Bilanz (mathematische Formulierung)
4 Umsatz (Xi)
- 4.1 Beispiel
5 Ausbeute
- 5.1 Beispiel
6 Selektivität
7 Umsatz, Ausbeute und Selektivität
8 Die "Anfangsgründe der Stöchiometrie"
9 Literaturangaben

Prinzipien der stöchiometrischen Rechnung (anschaulich)

Bei den stöchiometrischen Rechnungen geht es darum, die Menge an Ausgangsstoff, Edukt(en), zu berechnen, die bei einer chemischen Reaktion eingesetzt werden muss. Die Berechnung lässt sich natürlich auch so umkehren, dass man bei Kenntnis der Menge an Edukt(en) die Menge an Produkt(en) bestimmen kann. Am leichtesten verständlich sind die grundlegenden Prinzipien an einem Beispiel zu illustrieren.

Beispielaufgabe: Wie viel Wasserstoff entsteht bei der Reaktion von 1 g Lithium mit Wasser?

1. Schritt: Zuerst muss die Reaktionsgleichung für die untersuchte Umsetzung erstellt werden. Eine Reaktionsgleichung beschreibt die Stoffumwandlung nicht nur qualitativ (Was?), sondern auch quantitativ (Wie viel?). Deshalb muss man erst einmal wissen, was miteinander reagiert und die Edukte (Ausgangsstoffe) und die Produkte (Endstoffe) bestimmen.
Dies kann man zuerst einmal mit Hilfe einer Wortgleichung machen ...

$\mathrm{Lithium}+\mathrm{Wasser}\rightarrow\mathrm{Wasserstoff}+\mathrm{Lithiumhydroxid}$

... um sich dann zu überlegen, wie die Symbol-Schreibweise für die Stoffe lautet:

$\mathrm{Li}+\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\rightarrow\mathrm{H}_{2}+\mathrm{LiOH}$

Damit die Umsetzung auch quantitativ richtig durch die Reaktionsgleichung beschrieben wird, muss die Reaktionsgleichung ausgeglichen werden, momentan enthalten die Edukte 2 H-Atome, während bei den Produkten aber 3 H-Atome vorkommen (dazu siehe: Symbolschreibweise):

$2\ \mathrm{Li}+2\ \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\rightarrow\mathrm{H}_{2}+2\ \mathrm{LiOH}$

Nun ist die Reaktionsgleichung richtig.

2. Schritt: Die Berechnung beruht auf dem Prinzip der Proportionalität: Setzt man die doppelte Menge an Edukten ein, erhält man auch die doppelte Menge an Produkten. Man bestimmt deshalb die Massen der beteiligten Moleküle, die an der Reaktion beteiligt sind. Dazu verwendet man die molare Masse (dargestellt als M) mit der Einheit g/mol, wie sie im Periodensystem zu finden sind.

`2 Li`	`+`	`2 H₂O`	`->`	`H₂`	`+`	`2 LiOH`
M = 2 × 7 g/mol = 14 g/mol		M = 2 × (2 × 1 g/mol + 16 g/mol ) = 36 g/mol		M = 2 × 1 g/mol = 2 g/mol		M = 2 × ( 7 g/mol + 16 g/mol + 1 g/mol ) = 48 g/mol

So weiß man nun, dass 14 g Lithium 2 g Wasserstoff entstehen lassen. Daraus kann man nun das Ergebnis berechnen:

$\frac{M( \mathrm{Wasserstoff}) }{M( \mathrm{Lithium} ) } = \frac{2\ \mathrm{g} \cdot \mathrm{mol}^{-1}}{7\ \mathrm{g} \cdot \mathrm{mol}^{-1}} = \frac{x}{1\ \mathrm{g} }$

Man kann in dieser Gleichung die Einheit u wegkürzen und sie nach x auflösen:

$x = \frac{2}{7} \cdot 1\ \mathrm g \approx 0{,}286\ \mathrm g$

Alternativ lässt sich das Ergebnis auch per Dreisatz-Rechnung bestimmen.

Das Ergebnis der stöchiometrischen Rechnung ist, dass für jedes eingesetzte Gramm Lithium 0,286 g Wasserstoff entstehen. Mit Hilfe der Dichte kann man dann noch das Volumen des entstandenen Wasserstoffs berechnen: Es entstehen ≈1,59 Liter Wasserstoff.

Siehe auch: Massenanteil

Prinzipien der stöchiometrischen Ausgleichsrechnung (mathematisch)

Schwierige Ausgleichsrechnungen lassen sich mittels Gleichungssystemen lösen.

Zum Beispiel anhand dieser Gleichung:

$\mathrm{C_6H_6O+H_2O_2 \ \to \ H_2O+CO_2}$

Man vergibt für jedes Edukt und Produkt eine andere Variable. Die Reaktionsgleichung sieht dann so aus:

$x_1 \, \mathrm{C_6H_6O} + x_2 \, \mathrm{H_2O_2} = x_3 \, \mathrm{H_2O} + x_4 \, \mathrm{CO_2}$

Einzeln nach den Atomen und deren Anzahl im Molekül ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$6\ x_{1}=x_{4}$

$x_{1}+2\ x_{2}= x_{3}+2\ x_{4}$

$6\ x_{1}+2 x_{2}= 2\ x_{3}$

Vier Unbekannte und drei Gleichungen lassen sich nicht explizit lösen. Also legen wir eine Variable fest. Für $x 1 = 1$ erhalten wir:

x 1 = 1

x 4 = 6

x 3 = 17

x 2 = 14

Das Ergebnis lautet nun:

$\mathrm{C_6H_6O} + 14\, \mathrm{H_2O_2} = 17\, \mathrm{H_2O} + 6\, \mathrm{CO_2}$

stöchiometrische Bilanz (mathematische Formulierung)

Um jede beliebige Reaktion bilanzieren zu können, wird zu einer allgemeineren Schreibweise übergegangen. Für eine einfache chemische Reaktion lautet sie beispielsweise:

wobei ν_i die stöchiometrische Verhältniszahlen (auch stöchiometrische Koeffizienten genannt) sind. Da sich für eine Reaktion unterschiedliche Reaktionsgleichungen aufstellen lassen ( oder ), müssen vor der Bilanzierung die stöchiometrische Verhältniszahlen festgelegt werden. Dabei gilt:
- Edukte bekommen immer eine negative stöchiometrische Verhältniszahl
- Produkte eine positive stöchiometrische Verhältniszahl
- und Begleitstoffen (Stoffe die nicht an der Reaktion teilnehmen) bekommen eine stöchiometrische Verhältniszahl von 0

Bei der Reaktion verändern sich die Mengenanteile (genauer die Molenbrüche (n)) der Reaktanten in dem Maße, wie die stöchiometrischen Verhältniszahlen es vorgeben. Die stöchiometrische Bilanz für die Reaktanten i und k ergibt sich als:

${n_{i,0} - n_i \over -\nu_i} = {n_{k,0} - n_k \over \nu_k}$

Durch einfache Umformung erhält man für den Satzbetrieb

${n_{i,0} - n_i \over n_{k,0} - n_k} = {\nu_i \over \nu_k}$

und entsprechen für den Fließbetrieb

${\dot n_{i,0} - \dot n_i \over \dot n_{k,0} - \dot n_k} = {\nu_i \over \nu_k}$

Umsatz (X_i)

ist ein Begriff aus der chemischen Reaktionstechnik und beschreibt wie viel Edukt bei einer Reaktion reagiert. Mit dem Umsatz(grad) wird angegeben, welcher Anteil eines Ausgangsstoffes beim Verlassen des Reaktors in andere chemische Stoffe durch chemische Reaktion umgewandelt wurde. Etwas mathematischer ausgedrückt: Der Umsatz ist der Anteil der umgesetzten Menge einer Komponente i bezogen auf die eingesetzte Menge n_i,0

$X_\mathrm{i} ={ n_\mathrm{i,0} - n_\mathrm{i} \over n_\mathrm{i,0} }$

wobei n_i die noch vorhandene Menge der Komponente i ist

Sind mehrere Ausgangsstoffe beteiligt, so wird der Umsatzgrad per Konvention für denjenigen Stoff angegeben, der nicht im Überschuss vorliegt.

Beispiel

Einem chemischen Reaktor werden 100 Teile "A" und 50 Teile "B" zugeführt. Die darin ablaufende chemische Reaktion sei

$A+B\longrightarrow C+D$

Es reagiert also jeweils ein Teil "A" mit einem Teil "B" zu je einem Teil "C" und "D". In diesem Fall würde der Umsatz auf den Stoff "B" bezogen werden, da "A" im Überschuss vorliegt.

Wenn nun eine Mischung aus 90 Teilen "A", 40 Teilen "B" und je 10 Teilen "C" und "D" den Reaktor verlässt, dann ist der resultierende Umsatzgrad 0,2 oder 20%, denn es wurden 20% des in den Reaktor eintretenden "B" in andere Stoffe umgewandelt:

$X_B ={n_\mathrm{B,0}-n_\mathrm{B} \over n_\mathrm{B,0}}={50-40 \over 50}=0{,}2=20%$

Ausbeute

Ein Begriff aus der chemischen Reaktionstechnik. Mit der Ausbeute (Y) wird angegeben, welcher Anteil eines Eduktes beim Verlassen des Reaktors in das gewünschte Produkt (P) durch chemische Reaktion umgewandelt wurde. Sind mehrere Edukte beteiligt, so wird die Ausbeute bezogen auf die Leitkomponente (k) angegeben. Die Leitkomponente ist per Konvention derjenige Stoff, der nicht im Überschuss vorliegt.

Für einen Satzbetrieb gilt:

$Y_P = {n_P - n_{P,0} \over n_{k,0}} \cdot {\left| v_k \right| \over v_P}$

Für einen Durchflussbetrieb gilt entsprechend:

$Y_P = {\dot n_P - \dot n_{P,0} \over \dot n_{k,0}} \cdot {\left| v_k \right| \over v_P}$

Beispiel

Einem chemischen Reaktor werden 100 Teile "A" und 50 Teile "B" zugeführt. Die darin ablaufenden chemischen Reaktionen seien

$\mathrm{A} + \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} + \mathrm{D}$

$2\ \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{E}$ (Folgereaktion)

d.h. es reagiert jeweils ein Teil "A" mit einem Teil "B" zu je einem Teil "C" und "D". Außerdem können zwei Teile "C" zu einem Teil "E" reagieren. In diesem Fall würden Umsatzgrad und Ausbeute auf den Stoff "B" bezogen werden, da "A" im Überschuss vorliegt.

Nun verlässt eine Mischung aus 60 Teilen "A", 10 Teilen "B", 20 Teilen "C", 40 Teilen "D" und 10 Teilen "E" den Reaktor. In der ersten Reaktion wurden also je 40 Teile "A" und "B" in je 40 Teile "C" und "D" umgewandelt. Nach der zweiten Reaktion wurden 20 Teile "C" in 10 Teile "E" umgewandelt.

Hier wäre nun die Ausbeute an "D" gleich 80% (oder 0,8), da (40-0)/50 = 0,8. Die Ausbeute an "C" wäre nur gleich 40% (20-0/50), da ein Teil weiterreagiert hat.

Selektivität

Selektivität ist ein Begriff aus der chemischen Reaktionstechnik. Die Selektivität einer chemischen Umsetzung oder eines Reaktors gibt an, welcher Anteil des insgesamt umgesetzten Ausgangsproduktes unter Berücksichtigung der Stöchiometrie in das gewünschte Zielprodukt umgesetzt wurde. In der Regel setzen sich nicht alle Moleküle zu dem gewünschten Produkt um, da durch Folge oder Konkurrenzreaktionen andere Produkte entstehen können.

$S = {\mathrm{gebildete\;Menge}\,(k) \over \mathrm{umgesetzte\;Menge}\,(i)} = {(n_k - n_{k,0}) \cdot \left|v_i \right| \over (n_{i,0} - n_i) \cdot v_k} = {Y_k \over X_i}$

Umsatz, Ausbeute und Selektivität

Kombiniert man die Definitionen für Umsatz, Ausbeute und Selektivität mit einander, erhält man einen einfachen Zusammenhang der drei Größen:

$Y_P = X_k \cdot S_P$

Das bedeutet, dass wenn es nur eine mögliche Reaktion gibt, ist S=1 und die Ausbeute X gleich dem Umsatz Y. Es gilt ferner:

∑	S = 1
alleS

und:

∑	Y = X
alleY

Die "Anfangsgründe der Stöchiometrie"

Der Begriff der Stöchiometrie war ursprünglich zutiefst theologisch-alchemistisch geprägt, weil das 200 Jahre alte Originalwerk "Anfangsgründe der Stöchiometrie", welches zwischen 1792 und 1794 in drei Bänden erschien, ein Werk der christlich-platonischen Naturtheologie (Physikotheologie) war. In diesem Werk bedient sich der Autor, Jeremias Benjamin Richter (geb. 1762 - gest. 1807 in Berlin), der Universalschemata der Weltseele im platonischen Timaiosdialog. Er versuchte, mit Hilfe geometrischer, arithmetischer und triangularer Zahlenfolgen Stöchiometriegesetze zu definieren. Den Nachweis geometrischer Reihen in chemischen (stöchiometrischen) Verbindungen sah Richter als christliche Gottesbeweise an, was er in seiner lateinischen Doktorarbeit als "Physicotheologiae probationes de existentia dei" bezeichnete. Richter wollte die Chemie mit Hilfe der gleichen Universalschemata mathematisieren, mit deren Hilfe bereits Johannes Kepler die Astronomie zu mathematisieren versucht hatte: Geometrische, arithmetische, triangulare Zahlenfolgen.

Aus den gleichen Hexaeder, Tetraeder und Oktaeder, mit deren Hilfe Johannes Kepler seine Planetenbahnen konstruierte, konstruierte Richter seine Salz- und Schneekristalle in der Chemie. Er versuchte, auf diese Weise einen Zusammenhang zwischen der Form von Kristallen und Planeten-Umlaufbahnen zu charakterisieren.

Die Mathematisierung der Chemie, die wir heute als "Stöchiometrie" bezeichnen, sollte nach Richters Auffassung

mit der Mathematisierung der Musik durch Platons Timaiosdialog und
mit der Mathematisierung der Astronomie durch Keplers Weltharmonik

koordiniert und vernetzt werden, sodass zur Analyse eines chemischen Experimentes zugleich die Analyse der Planetenkonstellation stattfinden sollte, die zur Zeit des Chemie-Experimentes herrschte. Er glaubte, dass diese Planetenkonstellation über die von ihr ausgehenden Gravitationskräfte Einfluss auf das Resultat des chemischen Experimentes ausüben würde. Dieser Gedankengang Richters wird als ein zutiefst alchemistischer beziehungsweise astro-chemischer Gedankengang angesehen.

Das Werk Anfangsgründe der Stöchiometrie ist daher ein sehr stark astro-chemisch, alchemistisch und spagyrisch geprägtes Werk, das starke Affinitäten

zur platonischen Sphärenharmonie des Timaiosdialogs
zur Spagyrik des Mediziners, Theologen und Philosophen Paracelsus und
zur Astronomie von Kepler besitzt.

Da im Werk Anfangsgründe der Stöchiometrie chemische Experimente in eine mathematische Beziehung zu den Gravitationskräften der Planetenkonstellationen gesetzt wurden, soll jedes Chemieexperiment praktisch einmalig und nicht wiederholbar sein, weil sich die Planetenkonstellationen eine Stunde oder einen Tag nach dem ersten Experiment bereits geändert haben.