Stammbruch

Der Stammbruch ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet einen Bruch mit einer 1 im Zähler und einer beliebigen natürlichen Zahl im Nenner. Beispiele sind die Stammbrüche $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{6}$ , während $\frac{2}{3}$ kein Stammbruch ist.

Stammbruchentwicklung

Jeder Bruch der Form $\frac{a}{b}$ mit natürlichen Zahlen $a, b$ kann als Summe von Stammbrüchen (und einer natürlichen Zahl, falls $a > b$ ) dargestellt werden. Es gilt beispielsweise

$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$

Ein Verfahren zur Stammbruchentwicklung besteht darin, zunächst den ganzzahligen Anteil abzuziehen, und dann jeweils den größten Stammbruch, der kleinergleich dem Rest ist (man spricht von einem Greedy-Algorithmus).

Verfahren

Mit diesem Verfahren wird ein echter gekürzter Bruch in eine Summe von Stammbrüchen zerlegt, wobei alle Stammbrüche verschiedene Nenner haben:

Gegeben sei ein echter schon gekürzter Bruch: $\frac{a}{b}$ mit $a < b$ .

1. Schritt: Bilde neuen Bruch $\frac{c}{d}$ , wobei gilt: $c = a$ und $d=n \cdot a \; > b \; , n \in \mathbb{N}$ und $n$ minimal, d.h.; der neue Zähler ist gleich dem alten Zähler und der neue Nenner ist gleich dem kleinsten Vielfachen des alten Zählers, das größer als der alte Nenner ist.
2. Schritt: Bilde die Gleichung: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \; + \; \frac{a}{b} \; - \; \frac{c}{d}$
3. Schritt: Berechne die Differenz: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} + ( \frac{a}{b} - \frac{c}{d} ) = \frac{1}{n} + \frac{na - b}{nb}$; Der neue Bruch lässt sich aufgrund der Bildungsvorschrift immer zum Stammbruch kürzen.
4. Schritt: Wenn möglich, kürze die Differenz $\frac{na - b}{nb}$ .
5. Schritt: Breche das Verfahren ab, falls die Differenz $\frac{na - b}{nb}$ ein Stammbruch ist, sonst wiederhole Schritt 1 bis Schritt 4 für die Differenz $\frac{na - b}{nb}$ .

Beispiel: $\frac{2}{3}$

Schritt: Neuer Bruch: $\frac{2}{4}$
Schritt: $\frac{2}{3} = \frac{2}{4} + \frac{2}{3} - \frac{2}{4}$
Schritt: $\frac{2}{3} = \frac{2}{4} + ( \frac{2}{3} - \frac{2}{4} ) = \frac{1}{2} + \frac{2}{12}$
Schritt: $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$
Schritt: Das Verfahren bricht ab, da die Differenz $\frac{1}{6}$ bereits ein Stammbruch ist.

Dieses Verfahren endet stets nach endlich vielen Schritten, liefert jedoch nicht immer die kürzestmögliche Darstellung als Summe von Stammbrüchen. Zum Beispiel liefert dieses Verfahren die Darstellung

$\frac{59}{120} = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{65} + \frac{1}{10920}$

es gibt aber die kürzere Darstellung

$\frac{59}{120} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}$

Geschichte

Die alten Ägypter kannten nur Brüche mit ganzzahligem Nenner und Zähler, wobei der Zähler kleiner als der Nenner ist. Da sie außer für 2/3 nur Hieroglyphen für Stammbrüche hatten, mussten sie alle Brüche in Summen von Stammbrüchen zerlegen. (siehe auch Horusauge)

Leonardo Fibonacci veröffentlichte seinen Algorithmus im Liber abaci (1202). Der Beweis zur allgemeinen Gültigkeit des Algorithmus gelang erst 1880 dem britischen Mathematiker James Joseph Sylvester.

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