Stetige Gleichverteilung

Die stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall $(a, b)$ eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle der gleichen Länge die selbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

$X\sim Gleich (a,b)$

oder

$X\sim U(a,b)$

oder

$X\sim R(a,b)$

Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ bezeichnet man als gleichmäßig stetig $U (a, b)$ auf dem Intervall $\left[a,b\right]$ verteilt, wenn Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x)$ und Verteilungsfunktion $F (x)$ gegeben sind als

$f(x)= \begin{cases} 0 & x \le a\\\frac{1}{b-a}&a < x < b\\0&x\ge b \end{cases}$

$F(x)= \begin{cases} 0 & x \le a\\\frac{x-a}{b-a}&a < x < b\\1&x\ge b \end{cases}$

Eigenschaften

Erwartungswert und Median

Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung ist

$\operatorname{E}(X) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {xf(x)dx} = \frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {x \cdot 1dx} = \frac{1}{2}\frac{{(b^2 - a^2 )}}{{b - a}} = \frac{{a + b}}{2}$ .

Varianz

Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist

$\operatorname{Var}(X)$	$= \operatorname{E}(X^2) - \left({\operatorname{E}(X)} \right)^2 = \frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {x^2 \cdot 1dx} - \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2 = \frac{1}{3}\frac{{b^3 - a^3 }}{{b - a}} - \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2$
	$= \frac{1}{{12}}\left[ {4b^2 + 4ab + 4a^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2 } \right] = \frac{1}{{12}}(b - a)^2$ .

Standardabweichung

Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung

$\sigma_x = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}$ .

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

$\operatorname{VarK}(X) = \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{b-a}{a+b}$ .

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

$\operatorname{v}(X) = 0$ .

Wölbung

Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als

$\beta_2 = -\frac{6}{5}$

Summe von gleichverteilten Zufallsvariablen

Die Summe zweier unabhängiger gleichmäßig stetiger Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat für den Spezialfall $a = 0$ und $b = 1$ die Form

$\phi_{X}(t) = \frac{1}{it}(e^{it}-1)$ .

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist

$m_{X}(s) = \begin{cases}\frac{\displaystyle e^{bs}-e^{as}}{\displaystyle (b-a)s} & s\neq 0 \\ 1 & s=0 \end{cases}$ .

und speziell für $a = 0$ und $b = 1$

$m_{X}(s) = \frac{1}{s}(e^s-1)$ .

Damit ergeben sich die ersten allgemeinen Momente zu

$m_1 = \frac{1}{2}(a+b)$ .

Beziehung zu anderen Verteilungen

Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen.

Beziehung zur Exponentialverteilung Wenn $X$ eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt $Y=-\frac{1}{\lambda}\ln(X)$ der Exponentialverteilung mit dem Parameter $λ$ .