Stetigkeit (Topologie)

In der Topologie bezeichnet man Funktionen als stetig, wenn diese Morphismen zwischen topologischen Räumen sind, die die topologische Struktur (offene Mengen, Umgebungen, ...) erhalten. Deshalb sind sie auch von besonderem Interesse. Die Definitionen von Stetigkeit in anderen Teilgebieten der Mathematik leiten sich aus der Definition in der Topologie ab.

Die Stetigkeit ist grundlegend für den in der Topologie wichtigen Begriff des Homöomorphismus: eine bijektive stetige Funktion ist genau dann homöomorph, wenn auch ihre Umkehrfunktion stetig ist.

Definitionen

Da man topologische Räume auf unterschiedliche (aber äquivalente) Weise definieren kann, existieren auch mehrere gleichwertige Definitionen der Stetigkeit. Im folgenden finden sich bei jeder Definition mehrere Varianten, die sich durch ihren Grad an Formalisierung unterscheiden.

Offene Mengen

Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind.
Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann heißt f stetig, wenn das Urbild unter f von jeder in Y offenen Menge O wieder offen in X ist.
$f:X\rightarrow Y \mbox{ stetig } \Leftrightarrow\ \forall O \in \mathcal{O}_Y : f^{-1}(O) \in \mathcal{O}_X$

Abgeschlossene Mengen

Die Stetigkeit kann durch abgeschlossene Mengen definiert werden, indem man „offene Mengen“ in obiger Definition durch „abgeschlossene Mengen“ ersetzt:

Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder abgeschlossener Mengen wiederum abgeschlossene Mengen sind.
Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann heißt f stetig, wenn das Urbild unter f von jeder in Y abgeschlossene Menge A wieder abgeschlossen in X ist.
$f:X\rightarrow Y \mbox{ stetig } \Leftrightarrow\ \forall O \in \mathcal{O}_Y : X \setminus f^{-1}(Y \setminus O) \in \mathcal{O}_X$

Umgebungen

Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn für jeden Punkt gilt, dass die Urbilder beliebiger Umgebungen dieses Punktes wieder Umgebungen des Urbildes dieses Punktes sind.
Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann heißt f stetig, wenn das Urbild unter f von jeder Umgebung U jedes Punktes y in Y eine Umgebung des Punktes f ^-1(y) in X ist.
$f:X\rightarrow Y \mbox{ stetig } \Leftrightarrow\ \forall y \in Y\ \forall U \in \mathcal{U}(y) : f^{-1}(U) \in \mathcal{U}(f^{-1}(y))$

Eigenschaften von stetigen Funktionen

Wenn f: X → Y und g: Y → Z stetige Funktionen sind, dann ist die Komposition g o f: X → Z auch stetig.
Wenn f: X → Y stetig und
- X kompakt ist, dann ist f(X) kompakt.
- X zusammenhängend ist, dann ist f(X) zusammenhängend.
- X wegzusammenhängend ist, dann ist f(X) wegzusammenhängend.

Anmerkungen

Für eine Definitionsmenge X mit der diskreten Topologie ist jede Funktion f: X → Y in einen beliebigen Raum Y stetig.
Für eine Zielmenge Y mit der indiskreten Topologie ist jede Funktion f: X → Y in diesen Raum Y stetig.
Für eine Definitionsmenge mit der indiskreten Topologie und eine Zielmenge, die ein T₀-Raum ist, sind die konstanten Funktionen die einzigen stetigen Funktion.
Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft.

Betrachtet man bei einer Funktion nicht wie bei der Stetigkeit die Urbilder, sondern die Bilder der Funktion, so gelangt man zu den Begriffen der offenen bzw. abgeschlossenen Abbildung.