Steuerbarkeit

Ein System ist steuerbar, wenn ein Zustand in endlicher Zeit durch geeignete Stellsignale zu jedem beliebigen Wert geführt werden kann, d.h. es müssen repräsentative Stellsignale zur Festlegung aller Zustände vorhanden sein.

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematisch
- 1.1 Zustandssteuerbar
2 Regelungsnormalform (Frobenius-Form)
3 Nicht lineare Steuerbarkeit
4 Gründe für nicht vollständige Systeme [4]
5 Quellen
6 Siehe auch

Mathematisch

Ausgangspunkt für die Beurteilung der Steuerbarkeit eines linearen Systems ist die Zustandsraumdarstellung

$\underline{\dot{x}}=\underline{A}\cdot\underline{x}+\underline{B}\cdot\underline{u}$
$\underline{y}=\underline{C}\cdot\underline{x}+\underline{D}\cdot\underline{u}$

mit der Systemmatrix $\underline{A}$ , der Steuermatrix $\underline{B}$ , der Beobachtungsmatrix $\underline{C}$ , der Durchgangsmatrix $\underline{D}$ , dem Zustandsvektor $\underline{x}$ , dem Ausgangsvektor $\underline{y}$ und dem Steuervektor $\underline{u}$ .

Zur Ermittlung der Steuerbarkeit gibt es verschiedene, von der Form der Zustandsraumdarstellung abhängige, Kriterien.

Zustandssteuerbar

Vollständig zustandssteuerbar (teilweise auch Erreichbarkeit genannt) heißt ein lineares System, wenn es für jeden Anfangszustand $x (t 0)$ eine Steuerfunktion $u (t)$ gibt, die das System innerhalb einer beliebigen endlichen Zeitspanne $t_0\leq t \leq t_e$ in einen beliebigen Endzustand $x (t e)$ überführt.

Steuerbarkeitskriterium von Kalman^[1]

Das System (A,B) ist genau dann vollständig steuerbar, wenn für die Steuerbarkeitsmatrix

$S_S=\begin{pmatrix} B & AB & A^2B & ... & A^{n-1}B \end{pmatrix}$

gilt:

$\mathrm{Rang}\ S_S{ }={ }n$

Steuerbarkeitskriterium von Gilbert ^[2]

Das System $(diag \lambda_i, \tilde B )$ , dessen Zustandsraummodell in kanonischer Normalform vorliegt, ist genau dann vollständig steuerbar, wenn die Matrix $\tilde B$ keine Nullzeile besitzt und wenn die p Zeilen $\tilde b_i'$ , der Matrix $\tilde B$ , die zu den kanonischen Zustandsvariablen eines p-fachen Eigenwerts gehören, linear unabhängig sind.

Mit $\frac{d \tilde x(t)}{dt}=diag \lambda_i \tilde x(t), \ \tilde x (0)=V^{-1}x_0$

$y(t)=\tilde B \tilde x(t)$

$\tilde B = BV$

V ist dabei die Matrix mit den Eigenvektoren.

Steuerbarkeitskriterium von Hautus ^[3]

Das System (A,B) ist genau dann vollständig steuerbar, wenn die Bedingung:

$\mathrm{Rang}\begin{pmatrix} \lambda_i I - A & B \end{pmatrix}=n$

für alle Eingenwerte

λ i (i = 1,2,..., n)

der Matrix A erfüllt ist.

Regelungsnormalform (Frobenius-Form)

Die Regelungsnormalform kann unter anderem aus der Übertragungsfunktion: $G(s)=\frac{b_0+b_1s+...+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n}s^{n}}{a_0+a_1s+...+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n}s^{n}}$ einfach bestimmt werden.

Blockdiagramm Zustandsraumdarstellung

$\begin{bmatrix} \dot x_1\\ \dot x_2\\ ...\\ \dot x_{n-1}\\ \dot x_n\\\end{bmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix} 0&1 & 0 & ... & 0 \\ 0&0 & 1 & ... & 0 \\ 0&0 & 0 &... & 0 \\ ...& ... &... &... &... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & ... &-a_{n-1}\\ \end{pmatrix}}_{A_R} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \underbrace{ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ ...\\ 1\\\end{bmatrix} }_{b_R} u$

$y= \underbrace{ \begin{bmatrix} b_0 -b_n a_0 & b_1 -b_n a_1 & ... & b_{n-1} -b_n a_{n-1}\\ \end{bmatrix}}_{c'_R} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \begin{matrix} \underbrace{b_n}\\ \textrm{}^{\rm d_R} \end{matrix} u$ .

Bzw. für Eingrößensysteme

$y= \underbrace{ \begin{bmatrix} b_0 & 0 &... & 0\\ \end{bmatrix}}_{c'_R} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \begin{matrix} \underbrace{b_n}\\ \textrm{}^{\rm d_R} \end{matrix} u$

Die spezielle Form von $A R$ und $b R$ ist hilfreich für die Analyse und die Konstruktion von Zustandsreglern.

Nicht lineare Steuerbarkeit

Gründe für nicht vollständige Systeme ^[4]

Eigenvorgänge, die nicht mit dem Eingang verbunden sind, sind nicht steuerbar.
Zwei parallele Teilsysteme mit denselben dynamischen Eigenschaften sind nicht vollständig steuerbar.

Quellen

↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.64, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]
↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.73, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]
↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.75, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]
↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.76, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]