Stirling-Formel

Die Stirling-Formel ist eine mathematische Formel, mit der man für große Fakultäten Näherungswerte berechnen kann. Sie ist benannt nach dem Mathematiker James Stirling.

Inhaltsverzeichnis

1 Stirling-Formel für die Gammafunktion
2 Anwendungen
3 Siehe auch
4 Literatur
5 Weblinks

Die Stirling-Formel in ihrer einfachsten Form ist eine Näherungsformel

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^{n}.$

(Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe Quadratwurzel, π, e.)

Genauer gilt:

$1\leq\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\cdot(\frac n{\mathrm e})^n}\leq\mathrm e^{1/(12n)}<1+\frac1{11n}$

Insbesondere ist der Grenzwert des Bruches für $n\to\infty$ gleich 1.

Die Stirling-Reihenentwicklung lautet:

$\ln (n!)=n\ln (n) - n + {1\over 2}\ln(2\pi n) +{1\over12n} -{1\over360n^3} +{1\over1260n^5} -{1\over 1680n^7} +\cdots .$

Als Näherung betrachtet man lediglich eine endliche Zahl von Gliedern. Der Fehler liegt in der Größenordnung des ersten vernachlässigten Gliedes. Beispiel: bricht man nach dem dritten Glied ab, ist der absolute Fehler kleiner als $\frac1{12n}$ .

Für $n > 1000$ genügen zwei Glieder, um den relativen Fehler kleiner als 1 % zu halten:

$\ln (n!) \approx n \ln (n) - n$

Für sehr große n, n>10⁴⁴, reduziert sie sich zu (relativer Fehler < 1 %):

$\ln (n!) \approx n \cdot \ln (n)$ .

Beispielsweise folgt daraus, dass $10100!$ in Dezimaldarstellung bis auf 1 % Genauigkeit gleich $10^{10^{102}}$ ist.

Stirling-Formel für die Gammafunktion

Auch die Gammafunktion lässt sich durch die Stirling-Formel abschätzen. Für $x > 0$ gilt

$\Gamma(x)=\sqrt{2 \pi /x} \,x^x \exp(-x+\mu(x)),$

wobei $μ$ die Reihendarstellung

$\mu(x)=\sum_{n=0}^{\infty} g(x+n)$

mit $g(y)= (y+\tfrac 1 2) \ln (1+\tfrac 1 y ) -1$ hat. Die Funktion $μ$ erfüllt die Abschätzung $0<\mu(x) <\frac 1 {12x}$ . Wir haben also mit $\sqrt{2 \pi/ x} x^x e^{-x}$ eine Approximation für die Gammafunktion. Der Wert der Approximation ist immer etwas zu klein, da $μ > 0$ . Der relative Fehler ist aber für $x\ge 9$ bzw. 84 kleiner als 1% (0,1%). Da $Γ(n + 1) = n!$ , stimmt die Approximationsformel mit obiger überein.

Anwendungen

Die Stirling-Formel findet überall dort Verwendung, wo die exakten Werte einer Fakultät nicht von Bedeutung sind. Insbesondere bei der Berechnung der Information einer Nachricht und bei der Berechnung der Entropie eines statistischen Ensembles von Subsystemen ergeben sich mit der Stirling-Formel starke Vereinfachungen.

Beispiel: Gegeben sei ein System mit $N$ verschiedenen Subsystemen, von denen jedes $m$ verschiedene Zustände annehmen kann. Ferner sei bekannt, dass der Zustand $i$ mit der Wahrscheinlichkeit $ω i$ gemessen wird. Damit müssen sich $N i$ Subsysteme im Zustand $i$ befinden und es gilt $N i / N = ω i$ . Die Zahl der möglichen Verteilungen eines so beschriebenen Systems beträgt dann

$N!/(N_1!\,N_2!\,\ldots\,N_m!)$

und für dessen Entropie $σ$ gilt

$\sigma=\ln(N!)-\ln(N_1!)-\ldots-\ln(N_m!).$

Mittels der Stirling-Formel kann man nun bis auf Fehler der Ordnung $O (ln(N))$ diese Formel vereinfachen zu

$\sigma\,$	$=N (\ln N - 1) - N_1 (\ln N_1 - 1) - \ldots - N_m (\ln N_m - 1)$
	$=N \ln N - N_1 \ln N_1 - \ldots - N_m \ln N_m$
	$=(N_1 + \ldots + N_m) \ln N - N_1 \ln N_1 - \ldots - N_m \ln N_m$
	$=- N_1 \ln (N_1/N) - \ldots - N_m \ln (N_m/N)$
	$=- N \sum_{i=1}^m (\omega_i \ln \omega_i)$

Damit ergibt sich für die Entropie jedes der $N$ Subsysteme die bekannte Formel

$\sigma=-\sum_{i=1}^m \omega_i\ln(\omega_i)$

In ähnlicher Weise erhält man (bis auf einen konstanten Vorfaktor) für den Informationsgehalt eines ebenso definierten Systems die Formel

$I=-\sum_{i=1}^m \omega_i\log_2{(\omega_i)}$

Siehe auch

Gammafunktion

Literatur

E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 1995.
Konrad Königsberger: Analysis 1. Heidelberg, Springer 2003, ISBN 3-540-40371-X.