Stochastische Unabhängigkeit

Unter Stochastischer Unabhängigkeit versteht man in stochastischer, d.h. wahrscheinlichkeitstheoretischer Hinsicht den Umstand, dass Ereignisse sich in Bezug auf ihre Eintrittswahrscheinlichkeit nicht beeinflussen, also voneinander unabhängig sind.

Zum Beispiel sind zwei Würfe einer Münze voneinander unabhängig, d.h. das Ergebnis des zweiten Wurfs ist nicht abhängig vom Ergebnis des ersten Wurfs. Als Beispiel für zwei voneinander abhängige Ereignisse kann man die Regenwahrscheinlichkeit an zwei aufeinander folgenden Tagen ansehen. Zwischen diesen beiden Tagen besteht nämlich ein (wenn auch komplexer) Zusammenhang, der durch die Meteorologie beschrieben wird.

Voneinander abhängige Ereignisse sind insbesondere solche, die sich gegenseitig ausschließen oder sich gegenseitig bedingen. Der Fall, dass Ereignisse sich gegenseitig ausschließen – also stochastisch nicht unabhängig sind – wird häufig mit dem Fall der Unabhängigkeit von Ereignissen verwechselt.

Inhaltsverzeichnis

1 Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse
- 1.1 Formale Definition
- 1.2 Beispiel
2 Stochastische Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse
- 2.1 Definition
- 2.2 Beispiel
3 Bemerkungen
4 Siehe auch

Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse

Formale Definition

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ , die (messbare) Teilmengen einer nichtleeren Ergebnismenge $Ω$ ; sind, heißen stochastisch unabhängig, wenn

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

ist, das heißt, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse zusammen auftreten, gleich dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist.

Diese Definition ist mit den folgenden äquivalent:

$P (A | B) = P (A)$ wenn $P(B)\ne 0$
$P(A|B)=P(A|\overline B)$ wenn $P(B) \ne 0$ und $P(\overline B) \ne 0$

Beispiel

Der Student Harry fährt an 60 % aller Tage mit dem Rad (Ereignis R) zur Uni. Sonst nimmt er den Bus. An 30 % der Tage trägt er eine gepunktete Krawatte (Ereignis K), sonst eine gestreifte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Harry heute auf dem Rad mit einer gepunkteten Krawatte aufkreuzt? Es soll hier davon ausgegangen werden, dass das Muster der Krawatte nichts mit der Fortbewegungsart zu tun hat, dass also R stochastisch unabhängig von K ist und können dann berechnen:

$P(R \cap K)=P(R)\cdot P(K) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18 \ .$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,18 oder man könnte sagen, an 18 % aller Tage kommt Harry mit dem Rad und hat eine gepunktete Krawatte an.

Stochastische Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse

Definition

Sei $(Ω,Σ, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $I$ eine nichtleere Indexmenge und $(\Sigma_i)_{i\in I}$ mit $\Sigma_i\subset \Sigma$ für alle $i\in I$ eine Menge nichtleerer Mengensysteme, so heißen $(\Sigma_i)_{i\in I}$ stochastisch unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge, $J\subset I$ und alle Wahlen $A_j\in\Sigma_j$ mit $j\in J$ gilt:

$P(\cap_{j\in J} A_j) = \Pi_{j\in J} P(A_j)$ .

Eine Menge von Zufallsvariablen heißt stochastisch unabhängig, wenn ihre Urbild-σ-Algebren stochastisch unabhängig bezüglich obiger Definition sind.

Beispiel

Folgendes Beispiel von Bernstein (1928) zeigt die paarweise Unabhängigkeit von drei Ereignissen $A 1$ , $A 2$ und $A 3$ , die aber nicht gemeinsam (also $A 1$ , $A 2$ und $A 3$ gleichzeitig) unabhängig sind.

In einer Schachtel befinden sich 4 Zettel mit folgenden Zahlenkombinationen: 112, 121, 211, 222. Einer der Zettel wird zufällig (je mit Wahrscheinlichkeit 1/4) gezogen. Wir betrachten dann folgende drei Ereignisse:

$A_1 = \lbrace 1 \ \mathrm{an \ erster \ Stelle} \rbrace$ mit $P(A_1) = \frac{1}{2}$

$A_2 = \lbrace 1 \ \mathrm{an \ zweiter \ Stelle} \rbrace$ mit $P(A_2) = \frac{1}{2}$

$A_3 = \lbrace 1 \ \mathrm{an \ dritter \ Stelle} \rbrace$ mit $P(A_3) = \frac{1}{2}$

Offensichtlich sind die drei Ereignisse paarweise unabhängig, da gilt

$P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = \frac{1}{4}$

$P(A_1 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_3) = \frac{1}{4}$

$P(A_2 \cap A_3) = P(A_2) \cdot P(A_3) = \frac{1}{4}$

Die drei Ereignisse sind jedoch nicht (gemeinsam) unabhängig, da gilt

$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = 0 \ne \frac{1}{8} = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)$

Des Weiteren kann aus $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)$ nicht geschlossen werden, dass die drei Ereignisse paarweise unabhängig sind.

Bemerkungen

Bei methodisch korrektem Vorgehen kann man nicht einfach Unabhängigkeit vermuten, sondern man muss sie anhand obiger Formel überprüfen. Dabei ist meistens die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P(A ∩ B) nicht von vornherein gegeben. Bei der praktischen Auswertung erhobener Daten kann man beispielsweise mit einem χ²-Test die Merkmale auf stochastische Unabhängigkeit testen.

Für die Analyse auf Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen kann man auch testen, ob der Korrelationskoeffizient Null ist. Wenn die Hypothese abgelehnt wird, geht man davon aus, dass diese Variablen stochastisch abhängig sind. Der Umkehrschluss ist allerdings nicht zulässig, denn es können Abhängigkeitsstrukturen vorliegen, die der Korrelationskoeffizient nicht erfassen kann. Jedoch sind beispielsweise unkorrelierte, gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen auch stochastisch unabhängig.

Noch etwas weiter wird der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen von Filtrationen gefasst: X heißt von $\mathcal{F}$ unabhängig, wenn für $F\in\mathcal{F}$ gilt: