Streutheorie

In der Quantenmechanik muss der Vorgang der Streuung von Quantenobjekten grundsätzlich anders erfolgen als in der klassischen Mechanik, da das Konzept einer Trajektorie fehlt. Die quantenmeschanische Beschreibung wird Streutheorie genannt.

Mathematisches Konzept

In der Quantenmechanik wird ein Objekt (z.B. Elektron) immer duch einen Zustand beschrieben. Der Zustand setzt sich zusammen aus einem Ortszustand $| O r t >$ , einem Spinzustand $| s, m s >$ und vielen anderen physikalischen Größen (z.B. Isospin): $| G e s a m t w e l l e n f u n k t i o n > = | O r t > | S p i n > ...$

Im folgenden wird nur die Ortswellenfunktion $| O r t >$ betrachtet. Dies ist gerechtfertigt, unter folgenden Annahmen:

keine internen Freiheitsgade (Spin, angeregter Zustand, ...)
unterscheidbare Teilchen (Symmetrie der Wellenfunktion für Bosonen bzw. Fermionen wird hier nicht berücksichtigt)
keine Mehrfachstreuung

Ähnlich wie in der klassischen Mechanik kann das Zweiteilchenproblem zunächst auf ein äquivalentes Einteilchenproblem reduziert werden, bei dem ein einzelnes Quantenobjekt auf ein im Ursprung ruhendes Kraftzentrum zuläuft. Ausgangspunkt der Streutheorie ist die Beschreibung der Wechselwirkung durch ein Potential $V(\mathbf{x})$ und dem davon abgeleiteten Hamiltonoperator.

$H = \frac{p^2}{2m} + V(\mathbf{x})$

Die Wellenfunktion des einlaufenden Teilchens wird zu Beginn des Streuprozesses durch ein Wellenpaket $(t = t 0)$ beschrieben:

$\psi_0(x,t_0) = \int_{R^3} a_\mathbf{k} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \frac{d^3k}{(2\pi)^3}$

Diese Fourierdarstellung des Teilchens durch ebene Wellen kann auch über die stationären Zustände, also den Eigenzuständen des Hamiltonoperators erfolgen:

$H\psi_\mathbf{k} = E_k\psi_\mathbf{k}$

wobei die Eigenwerte mit dem Wellenvektor $\mathbf{k}$ über

$E_k = \frac{\hbar^2k^2}{2m}\geq 0$

zusammenhängen. Diese Zustände werden als Streuzustände bezeichnet, da ein Zustand mit positiver Energie ungebunden ist und auch außerhalb der Reichweite des Potentials eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit besitzt. Ein einzelner Streuzustand entspricht physikalisch zunächst einer wenig plausiblen Situation, da die Wahrscheinlichkeitsstromdichte

$\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right)$

verschwindet, also stets die gleiche Menge des Teilchens auf das Streuzentrum hin- wie abfließt. Das ist aber notwendig, da ein stationärer Zustand analog einer stehenden Welle ist , die man z.B. aus der Akustik kennt. Erst durch Überlagerung gelangt man zu der anschaulichen Situation eines zunächst einlaufenden und danach gestreuten Wellenpakets. Die stationäre Schrödinger-Gleichung führt auf die Helmholtz-Gleichung und deren inhomogene Lösung auf eine implizite Integralgleichung, die auf die asymptotische Form der Streuzustände führt:

$\lim_{r\rightarrow\infty} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} + f_{\mathbf{k}}(\theta, \phi)\frac{e^{ikr}}{r}$

Dieses asymptotische Verhalten, dass sich in großer Entfernung vom Streuzentrum die Wellenfunktion aus einer ungestört durchlaufenden ebenen Welle und einer auslaufenden Kugelwelle zusammensetzt, bezeichnet man auch als Sommerfeldsche Randbedingung. Die physikalische Information über das Streupotential liegt in der Streuamplitude $f_\mathbf{k}(\theta,\phi)$ , genauer in ihrem Betrag, dem durch Streuexperimente zugängigem differentiellen Wirkungsquerschnitt

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left|f_{\mathbf{k}}(\theta, \phi)\right|^2$

Im Falle eines Zentralpotentials ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße und man entwickelt die Wellenfunktion nach simultanen Eigenzuständen von $H, \,L^2$ und $L z$ . Die Streuzustände heißen dann Partialwellen und lassen sich, wie auch die nun nur noch vom Winkel $θ$ abhängige Streuamplitude und Streuquerschnitt, nach Legendre-Polynomen entwickeln, was man auch als Partialwellenentwicklung bezeichnet.