Unendliche Teilbarkeit

Der Begriff der unendlichen Teilbarkeit beschreibt in der Stochastik die Eigenschaft vieler Zufallsvariablen, sich als Summe einzelner unabhängiger Zufallsvariablen zerlegen zu lassen. Eingeführt wurde der Begriff 1929 durch den italienisch-österreichischen Mathematiker Bruno de Finetti. Er ist eng verwandt mit dem Begriff der Reproduktivität (aber nicht identisch, siehe weiter unten) und spielt vor allem in der Theorie der Lévy-Prozesse eine große Rolle.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Unendliche Teilbarkeit und Lévy-Prozesse
3 Beispiele
4 Unendliche Teilbarkeit vs. Reproduktivität

Definition

Sei $(\Omega, \mathcal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $X : \Omega \to \R^d$ eine d-dimensionale Zufallsvariable darauf. X heißt unendlich teilbar auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum, falls es für jedes $n \in \N$ Zufallsvariablen $X_1, X_2, \ldots X_n : \Omega \to \R^d$ gibt mit

$X_1, X_2, \ldots X_n$ sind unabhängig und identisch verteilt
$\sum_{i=1}^{n} X_i \sim X$ .

Unendliche Teilbarkeit und Lévy-Prozesse

Besonders große Bedeutung kommt dem Konzept der unendlichen Teilbarkeit bei der Theorie der Lévy-Prozesse zu: Denn für Zufallsvariablen A und B existiert genau dann ein Lévy-Prozess $(X_t),\; t \in \mathbb{Q}$ mit Zuständen $X_0 \sim A, X_1 \sim B$ , wenn die Zufallsvariable B-A unendlich teilbar ist. Dieses Resultat von Paul Lévy vereinfacht den Beweis von der Existenz der Brownschen Bewegung (erstmals bewiesen durch Norbert Wiener im Jahr 1923) dramatisch, da leicht gezeigt werden kann, dass die Normalverteilung unendlich teilbar ist.

Beispiele

Wie bereits erwähnt, ist jede normalverteilte Zufallsvariable unendlich teilbar: für $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), \;\; n \in \N$ wähle unabhängige $X_1, X_2 \ldots X_n \sim \mathcal{N} (\frac{\mu}{n},\frac{\sigma^2}{n})$ . Damit sind dann die obigen Bedingungen erfüllt.
Es existieren auch diskrete unendlich teilbare Zufallsvariablen: Für jedes $λ > 0$ Ist die Poisson-Verteilung mit Parameter $λ$ unendlich teilbar: hier sind $X_1, X_2 \ldots X_n$ ebenfalls unabhängig Poisonverteilt mit Parameter $\frac{\lambda}{n}$ .
Die Exponentialverteilung mit Erwartungswert $τ$ ist unendlich teilbar: die dazugehörigen "Teiler" sind gammaverteilt mit Erwartungswert $\frac{1}{n} \tau$ und Varianz $\frac{1}{n} \tau^2$ (Man beachte die uneinheitliche Parametrisierung).
Man sieht schnell, dass die Bernoulli-Verteilung, charakterisiert durch $P(X=1)=P(X=0)=\frac{1}{2}$ nicht unendlich teilbar ist: Seien hierzu $X 1, X 2$ die unabhängigen, identisch verteilten Teiler von X für n=2. Falls diese trivial wären (d.h. falls diese nur einen Wert annehmen könnten), wäre die Summe ebenfalls trivial. Also muss $X 1$ mindestens verschiedene 2 Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen können, etwa $a, b \in \R \; (a \not= b)$ . Die Summe $X 1 + X 2$ würde dann aber die 3 paarweise verschiedenen Werte 2a, 2b und a+b annehmen und wäre demnach auch nicht Bernoulli-verteilt. Also können $X 1, X 2$ nicht existieren.
Analog lässt sich zeigen, dass keine Verteilung, die nur endlich viele Werte annimmt, unendlich teilbar sein kann.
Mit etwas mehr Aufwand kann gezeigt werden, dass die Gleichverteilung ebenfalls nicht unendlich teilbar ist.
Weitere Beispiele für unendlich teilbare Zufallsvariable sind die Gamma-Verteilung (damit Chi-Quadrat-Verteilung und Exponentialverteilung), die Logarithmische Normalverteilung, die logistische Verteilung, die Pareto-Verteilung, die Dirac-Verteilung, die negative Binomialverteilung, Alpha-stabile Verteilungen, die Gumbel-Verteilung, die F-Verteilung und die Student-Verteilung.
Außerdem (weitere Beispiele): die inverse Gaussian und die normal inverse gaussian Verteilungen.

Unendliche Teilbarkeit vs. Reproduktivität

Ein ähnliches Attribut für Zufallsvariablen ist die Reproduktivität, die besagt, dass eine Familie von Verteilungen reproduktiv ist, wenn die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen aus der Familie wieder in derselben Familie liegt. Ein Unterschied zur unendlichen Teilbarkeit besteht beispielsweise darin, dass bei letzterer die Familie nicht spezifiziert werden muss:

So ist die Familie der Exponentialverteilungen unendlich teilbar, aber nicht reproduktiv (die Exponentialverteilungen bilden jedoch eine Unterfamilie der Gammaverteilungen, die wiederum reproduktiv sind).

Ein Beispiel für eine reproduktive, aber nicht unendlich teilbare Familie ist andererseits die Binomialverteilung mit variablem Parameter n und festem Parameter p: Ist beispielsweise X Binomial(n,p)-verteilt und Y davon unabhängig Binomial(m,p)-verteilt, so besitzt X+Y eine Binomial(m+n,p)-Verteilung. Unendlich teilbar ist X aber nicht, da es zum Beispiel nicht in n+1 identische, unabhängige Teiler zerlegt werden kann.

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