Vektorpotential

In der klassischen Elektrodynamik, einem Teilgebiet der Physik, wird das Vektorpotential $\mathbf A(\mathbf r)$ als mathematisches Hilfsmittel verwendet, um den Umgang mit der magnetischen Induktion $\mathbf B(\mathbf r)$ (anschaulich: das "Magnetfeld") zu vereinfachen. Es lässt sich verwenden, um die Maxwell-Gleichungen, welche das elektromagnetische Feld beschreiben, zu entkoppeln und so leichter lösbar zu machen. Es zeigt sich, dass das Vektorpotential über eine Faltung aus einer gegebenen Stromverteilung $\mathbf j(\mathbf r)$ hervorgeht. Man kann also das Vektorpotential zu einer gegebenen Stromverteilung berechnen und daraus dann die magnetische Induktion $\mathbf B(\mathbf r)$ , welches durch diese Verteilung erzeugt wird. Die magnetische Induktion ist (im Gegensatz zum Vektorpotential) eine direkt messbare Größe. Unter einer Stromverteilung kann man sich etwa eine Anordnung von stromdurchflossenen Leitern im Raum vorstellen, wie einen zu einer Spule gewundenen Draht, oder auch nur einen einzelnen stromdurchflossenen Draht.

Definition

Das Vektorpotential $\mathbf A(\mathbf r)$ wird so definiert, dass

$\mathbf B(\mathbf r) = \nabla \times \mathbf A(\mathbf r)$

gilt. Hierbei ist $\nabla \times \mathbf A(\mathbf r)$ die Rotation des Vektorpotentials. Durch diesen Ansatz ist automatisch die Divergenz von $\mathbf B$ Null.

In der Elektrodynamik gilt die obige Formel unverändert, wohingegen für das elektrische Feld $\mathbf E(\mathbf r)$

$\mathbf E(\mathbf r) = - \nabla\Phi - \partial_t \mathbf A(\mathbf r)$

gilt. Hierbei ist $Φ$ das skalare Potential.

Diese beiden Ansätze, zusammen mit der Lorenz-Eichung, werden benutzt, um die Maxwellgleichungen zu entkoppeln. In der Magnetostatik wird für gewöhnlich die Coulomb-Eichung benutzt, die den statischen Grenzfall der Lorenzeichung darstellt.

Eigenschaften des Vektorpotentials

(1) Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Man sagt, das Vektorpotential ist bestimmt bis auf ein Gradientenfeld, d. h. für jede skalare Funktion $χ$ gilt

$\mathbf A(\mathbf r)' = \mathbf A(\mathbf r)+ \nabla \chi \;\;\Rightarrow\;\; \mathbf B(\mathbf r)'= \nabla \times \mathbf A(\mathbf r)'= \nabla \times \mathbf A(\mathbf r) + \nabla \times \nabla \chi = \nabla \times \mathbf A(\mathbf r) = \mathbf B(\mathbf r)$ .

Verschieden geeichte Vektorpotentiale können auf dasselbe magnetische Feld führen; man sagt, das magnetische Feld ist eichinvariant. Dabei ist zu beachten, dass (wie hier verwendet) die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet.

(2) Das Vektorpotential ist nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes $α$ darstellbar und es würde gelten:

$\mathbf B(\mathbf r) = \nabla \times \mathbf A(\mathbf r) = \nabla \times \nabla \alpha = 0$

(3) In der Magnetostatik kann das Vektorpotential über die Coulomb-Eichung quellfrei gemacht werden, das bedeutet

$\nabla \mathbf A(\mathbf r) = 0$ .

(4) Die Lorenz-Eichung ist nützlich für die Berechnung von elektromagnetischen Wellen, mit

$\nabla \mathbf A(\mathbf r) + \frac{1}{\ c^2}\partial_t\Phi = 0$

(5) In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung, für die gilt

$\nabla^2 \mathbf A(\mathbf r) = - \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \mathbf {j}$ .

Daraus erhält man folgende einfache Darstellung des Vektorpotentials über eine Faltung:

$\mathbf A(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}^3r'$ .

(6) In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential

$\Box \mathbf A(\mathbf r) = \nabla^2 \mathbf A(\mathbf r) - \frac{1}{c^2} \partial_t^2 \mathbf A(\mathbf r) = - \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \mathbf {j}$ ,