Viereck

Dieser Artikel beschreibt die ebene, geometrische Figur.Weitere Bedeutungen finden sich unter Viereck (Begriffsklärung).

Hierarchie der Vierecke

Ein Viereck (veraltet auch Geviert, auch Tetragon) ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher auch) vier Kanten (oder Seiten).

Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist das Quadrat.

Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex (konvexes Viereck), liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck). Bei einem überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks. Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder "echten") Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als 2 Eckpunkte auf einer Geraden liegen.

Für jedes Viereck gilt:

Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad bzw. 2π.

Es ist Musterkachel für eine periodische Parkettierung der (euklidischen) Ebene (Raumfüller).

Spezielle Vierecke

Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, so spricht man von einem Parallelogramm. Ein Viereck mit vier gleich großen Winkeln (90°, siehe rechter Winkel) nennt man Rechteck. Bei einem Drachenviereck(Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paaren benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einem Rhombus (Raute). Ein Quadrat hat sowohl vier gleich lange Seiten als auch vier gleich großen (Innen-)Winkeln (90°). Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises so spricht man von einem Tangentenviereck.

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten diverse Mengenrelationen, insb. die in der Grafik dargesellten Teilmengenbeziehungen, wie zum Beispiel:

Quadrat ⊂ Rechteck ⊂ Parallelogramm ⊂ Trapez ⊂ konvexes Viereck

(Dabei steht jeweils der Begriff X synonym für Menge aller X)

Ferner gelten auch noch folgende Beziehungen:

Quadrat = Rechteck ∩ Raute
Quadrat = Drachenviereck ∩ gleichschenkliges Trapez
Rechteck = Sehnenviereck ∩ Parallelogramm
Raute = Drachenviereck ∩ Trapez
Raute = Tangentenviereck ∩ Parallelogramm
Gleichschenkliges Trapez = Sehnenviereck ∩ Trapez

Klassifikation

Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt:

nach Eigenschaften des Inneren:
- konvex
- nicht konvex

nach Symmetrie-Eigenschaften:
- eine Diagonale ist Symmetrieachse: Deltoid
- beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Rhombus
- die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: gleichschenkeliges Trapez
- die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
- vier Symmetrieachsen: Quadrat
- zweizählige Symmetrie (punktsymmetrisch): Parallelogramm
- vierzählige Symmetrie: Quadrat

nach der Länge der Seiten:
- zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: Parallelogramm
- zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Deltoid (Drachenviereck)
- gleichseitiges Viereck: Rhombus
- die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck

nach der Größe der Winkel:
- zwei Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel: Parallelogramm
- zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkeliges Trapez
- gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
- die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck

nach der Lage der Seiten:
- ein Paar paralleler Seiten: Trapez
- zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm
- die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck