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Wurzel (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenz

$a = x^n,\,$

wobei zunächst a eine nichtnegative reelle Zahl und n eine natürliche Zahl sein soll. Das Ergebnis des Wurzelziehens bezeichnet man als Wurzel oder Radix (v. lat. Radix „Wurzel“). Das Radizieren ist (neben dem Logarithmieren) eine Umkehrung des Potenzierens.

Der Operator $\sqrt[]{}$ stammt von dem kleinen Buchstaben r ab und steht für radizieren. Er wurde erstmalig 1525 vom deutschen Mathematiker Thomas Rudolff verwendet. Die Verlängerung des r über den vollständigen Term wurde erst später eingeführt.

Inhaltsverzeichnis

1 Schreibweise und Bezeichnungen
2 Quadrat- und Kubikwurzel
3 Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen
4 Wurzeln aus negativen Zahlen
5 Zusammenhang mit Potenzen
6 Die Wurzelgesetze
7 Wurzelfunktionen
8 Berechnung
9 Wurzeln aus komplexen Zahlen
10 Andere Bedeutungen des Wortes
11 Literatur
12 Weblinks

Schreibweise und Bezeichnungen

Man schreibt die nichtnegative Lösung der Gleichung $a = x^n\,$ in der Form

$x = \sqrt[n\,]{a}$

und liest: x ist die n-te Wurzel aus a. Man nennt

$x\,$ Wurzel oder Radix,
$n\,$ Wurzelexponent,
$a\,$ Radikand.

Quadrat- und Kubikwurzel

Üblicherweise wird die zweite Wurzel als Quadratwurzel oder einfach nur als die Wurzel bezeichnet und der Wurzelexponent weggelassen. Die einfachen Quadratwurzeln, deren Radix natürliche, positive Zahlen von 1-20 sind (kleines und großes Einmaleins) werden manchmal als höheres Allgemeinwissen betrachtet und in sogenannten Eignungstests für Personalauswahlverfahren unter Stress kurz abgefragt (z.B.: Was ist die Wurzel aus 121?)

Radikand	Radix Quadratwurzel	Radikand	Radix Quadratwurzel
4	2	121	11
9	3	144	12
16	4	169	13
25	5	196	14
36	6	225	15
49	7	256	16
64	8	289	17
81	9	324	18
100	10	361	19

Für weitere Informationen hierzu siehe den ausführlichen Artikel Quadratwurzel.

Des weiteren bezeichnet man Wurzeln mit dem Wurzelexponenten 3 (dritte Wurzeln) speziell als Kubikwurzeln.

Beispiel:

$\sqrt[3]{8} = 2 \Leftrightarrow 2^3 = 8$ (sprich: „Dritte Wurzel aus 8“)

Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen

Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen $\sqrt[]{}$ grundsätzlich für die positive Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung $x 2 = 4$ die beiden Lösungen 2 und −2. Der Term $\sqrt[2]{4}$ hat jedoch den Wert 2 und nicht den Wert −2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten

$\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|\,.$

Wurzeln aus negativen Zahlen

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise

$(-2)^3=-8\,,$

und $- 2$ ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz $- 8$ ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.

Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:

Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell "verboten". Beispielsweise ist $\sqrt[3]{-8}$ also undefiniert. Die Lösung der Gleichung $x 3 = - 8$ wird geschrieben als $x = -\sqrt[3]{8}$ .
Wurzeln aus negativen Zahlen sind erlaubt, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, …). Für ungerade Zahlen $2 n - 1$ gilt generell

$\sqrt[2n-1]{-a}=-\sqrt[2n-1]{a}$ .

Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist

$-2=\sqrt[3]{-8}\ne\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=+2.$

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen; allerdings gibt es auch im Bereich der komplexen Zahlen Wurzeln aus negativen Zahlen nur mit gewissen Einschränkungen, siehe unten.

Zusammenhang mit Potenzen

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n und das Potenzieren mit dem Exponenten n heben sich gegenseitig auf, es gilt gemäß obenstehender Definition der Wurzel:

$(\sqrt[n]{a})^n = a \quad \forall\ a \geq 0, n \geq 1\,.$

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n wirkt also wie das Potenzieren mit dem Exponenten 1/n. Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt nämlich:

$\big(a^{\frac{1}{n}}\big)^n = a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a$

Daher kann das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n auch als Potenzieren mit dem Exponenten 1/n interpretiert werden:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Die Wurzelgesetze

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich aus jenen für Potenzen.

Für positive Zahlen $a$ und $b$ gelten die folgenden Rechengesetze:

$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
$\left(\sqrt[n]{a} \right)^m=\sqrt[n]{a^m}$
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

Bei negativen Zahlen können diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn $m$ und $n$ ebenfalls ungerade Zahlen sind. Bei anderen komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden.

Wurzelfunktionen

Funktionen der Form

$f: \mathbb{R}_0^+\to\mathbb{R}_0^+, x\mapsto\sqrt[n]x$ oder allgemeiner $x\mapsto\sqrt[n]{x^m}$

heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Potenzfunktionen, es gilt $\sqrt[n]{x^m}=x^\frac{m}{n}$ .

Berechnung

Wurzeln können durch schriftliches Wurzelziehen bestimmt werden; dieses Verfahren ist jedoch von geringer praktischer Bedeutung.

Rückführung auf andere Funktionen

Höhere Wurzeln aus positiven Zahlen x kann man wie jede Potenz durch Exponentialfunktion und Logarithmus ausdrücken:

$\sqrt[n]{x} = x^{1/n} = \exp\left(\frac{\ln(x)}{n}\right)$

Numerische Berechnung

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehören unter anderem das Intervallhalbierungsverfahren.

Ein weiteres Näherungsverfahren zur Berechnung von $\sqrt[n]{x}$ ergibt sich, indem man mit dem Newtonverfahren eine Nullstelle der Funktion

$y \mapsto y^n-x, \quad n \ge 1$ annähert:

Wähle einen (möglichst guten) Startwert $y > 0$
Iteriere nach der Vorschrift

$y \mapsto \frac{(n-1)y^n + x}{n \cdot y^{n-1}}$

Für $n = 2$ erhält man gerade das Heronverfahren.

Beispiel für eine Näherung für $\sqrt[3]{2}$ nach dem obigen Iterationsverfahren:

Die Iterationsvorschrift lautet mit $x = 2$ und $n = 3$

$y \mapsto \frac{2 \, y^3 + 2}{3 \, y^2}$ .

Mit dem Startwert $y = 2$ erhält man:

Startwert:	2,000000000000
Schritt 1:	1,500000000000
Schritt 2:	1,296296296296
Schritt 3:	1,260932224741
Schritt 4:	1,259921860565
Schritt 5:	1,259921049895
Schritt 6:	1,259921049894

„Rechenkünstler“

Man kann, wie das Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung und Anwendung elementarer Zahlentheorie berechnen, sofern bekannt ist, dass die Wurzel eine natürliche Zahl ist. Das lässt sich besonders gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und wie die letzte Ziffer endet:

1	1
8	2
27	3
64	4
125	5
216	6
343	7
512	8
729	9
1.000	10

1.000	10
8.000	20
27.000	30
64.000	40
125.000	50
216.000	60
343.000	70
512.000	80
729.000	90
1.000.000	100

Beispiele:

Die dritte Wurzel von 103.823:
Die Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, und demnach ist die dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47.
Die dritte Wurzel von 12.167:
Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, und demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.

Das Ganze funktioniert aber nur dann, wenn man davon ausgehen kann, dass es sich bei der vorgegebenen Zahl um die dritte Potenz einer natürlichen Zahl handelt.

Bei den Rechenkünstlern handelt es sich natürlich um viel höhere Potenzen mehrstelliger Zahlen – zum Beispiel: Was ist die 25. Wurzel von 880794982218444893023439794626120190780624990275329063400179824681489784873773249 (Lösung: 1729) und extremere Aufgaben.

Wurzeln aus komplexen Zahlen

Als die $n$ -ten Wurzeln einer komplexen Zahl $a\in\Bbb C$ bezeichnet man die Lösungen der Gleichung

z n - a = 0

Ist $a\neq 0$ in der Exponentialform $a=|a|\,\mathrm e^{\mathrm i\alpha}$ dargestellt, so sind die $n$ -ten Wurzeln aus $a$ genau die $n$ komplexen Zahlen

$z_k=\sqrt[n]{|a|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\alpha}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1) .$

Die fünf fünften Wurzeln aus 1 + i√3 = 2 · e^π · i/3

Der Sonderfall $a = 1$ wird als n-te Kreisteilungsgleichung bezeichnet, die Lösungen als $n$ -te Einheitswurzeln. Die Bezeichnung „Kreisteilungsgleichung“ erklärt sich, wenn man ihre Lösungen in der Gaußschen Ebene betrachtet: die $n$ -ten Einheitswurzeln teilen den Kreis mit dem Radius $1$ und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt in $n$ gleiche Teile, sie bilden die Eckpunkte eines in den Kreis einbeschriebenen regulären $n$ -Ecks.

Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als die Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine (holomorphe) $n$ -te Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus definieren:

$z^{1/n} = \exp{\frac{\ln z}{n}} \quad (z\in\mathbb C\setminus\{x\in\mathbb R\mid x\leq0\})$

Man kann den Logarithmus auch (unstetig) auf die negative reelle Achse fortsetzen, es gilt dann aber mit der so definierten Wurzelfunktion beispielsweise $\sqrt[3]{-8} = 2\,\exp{(\mathrm{i}\,60^\circ)} = 1+\mathrm i\sqrt3$ und nicht $= - 2$ .

Andere Bedeutungen des Wortes

Für die veraltete Bedeutung der Wurzel als Lösung einer Gleichung, siehe den Artikel Nullstelle.

Für die spezielle Bedeutung in der Darstellungstheorie, siehe den Artikel Wurzelsystem.

Für die außermathematische Verwendung des Wortes siehe Wurzel.

Literatur

Ulrich Felgner: Über den Ursprung des Wurzelzeichens. In: Mathematische Semesterberichte. Bd. 52, Nr. 1, 2005, Springer, S. 1-7, ISSN 0720-728X (doi:10.1007/s00591-004-0083-4)