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Lemniscate

[138] Lemniscate, eine schleifenförmige Kurve vierter Ordnung von der Gleichung (x² + y²)² = a² (x² – y²) oder in Polarkoordinaten

Sie hat im Ursprung O einen Doppelpunkt mit Wendetangentenpaar. Die Punkte F und F' a mit den Koordinaten ±a/√2, 0 heißen Brennpunkte der Lemniscate. Ist P ein Kurvenpunkt, so ist F P ∙ F' P = O P². Der Winkel zwischen Radiusvektor und Normale ist 2ϑ, der Krümmungsradius P' K = ρ = a²/3r; die Projektion des Krümmungsradius auf den Radiusvektor ist r/3; die [138] Evolute A F B, C F' D hat die Gleichung 9 (x^2/3 + y^2/3)². (x^2/3 – y^2/3) = 4a². Die Sektorfläche ist S = ¹/₄a² sin 2ϑ, daher die Fläche der ganzen Kurve a². Der Bogen ist nur durch elliptische Integrale ausdrückbar; doch gibt es Lemniscatenbogen, deren Differenz konstruierbar ist (berühmtes Theorem von Fagnano). Die ganze Bogenlänge ist 5,2441 .... a, der Inhalt des Drehungskörpers um die x-Achse

Die Lemniscate ist die Fußpunktkurve der gleichseitigen Hyperbel mit dem Mittelpunkt als Pol. – Die logarithmische Lemniscate mit der Gleichung y² = x²l(a²/x²) hat eine ähnliche Gestalt, besitzt jedoch im Ursprung einen Selbstberührungspunkt.

Wölffing.