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Ebene

[204] Ebene heißt das Erzeugnis einer Geraden, die immer durch einen Punkt geht und dabei eine Gerade schneidet. Sie teilt den Raum in zwei symmetrische Halbräume, ist unbegrenzt, in sich verschiebbar und umkehrbar; jede Gerade durch zwei Punkte derselben fällt ganz in sie hinein.

Die Gleichung der Ebene ist vom ersten Grad E = A x + By + C z + D = 0. Mit D = 0 geht die Ebene durch den Ursprung, mit A = 0, B = 0, C = 0 ist sie resp. parallel zur x-, y-, z-Achse. Mit

geht sie resp. durch die x-, y-, z-Achse; mit

steht sie resp. senkrecht zur x-, y-, z-Achse. Eine Ebene ist bestimmt durch drei Punkte a, b, c; a', b', c'; a'', b'', c''; ihre Gleichung ist:

oder in Parameterdarstellung:

Die Achsenabschnitte der Ebene E = 0 sind –D/A, –D/C, –D/C; ihre Koordinaten A/D, B/D, C/D oder homogen A : B : C : D. Der Winkel ψ der beiden Ebenen E = A x + B y + C z + D = 0 und E' = A' x + B' y + C' z + D' = 0 ist gegeben durch:

wobei

Die Ebenen sind parallel, wenn A : B : C = A' : B' : C'; sie sind aufeinander senkrecht, wenn AA' + BB' + CC' = 0. Hessesche Normalform der Ebenengleichung ist: x cos α + y cos β + z cos γ = d, wo cos² α + cos² ß + cos² γ = 1. Dabei ist d = –D/W die Entfernung der Ebene vom Ursprung (das Vorzeichen von W wird so bestimmt, daß d positiv wird); cos α = A/W, cos ß = B/W, cos γ = C/W sind die drei Richtungskosinusse der Ebene, d.h. die Kosinusse ihrer Winkel mit der y z-, z x- und x y-Ebene. Abstand des Punktes a, b, c von der Ebene E = 0 ist: Aa + Bb + Cc + D/W positiv/negativ, je nachdem der Punkt mit dem Ursprung auf derselben/verschiedener Seite der Ebene liegt. Abstand zweier parallelen Ebenen Ax + By + Cz + D = 0 und Ax + By + Cz + D' = 0 ist D – D'/W. Medianebenenpaar von E = 0 und E' = 0 ist E/W ± E'/W' = 0. – Zwei Ebenen E = 0 und E' = 0 bestimmen eine Gerade

ist irgend eine Ebene durch dieselbe. Ist aber λ ein veränderlicher Parameter, so ist E + λE' = 0 der Inbegriff aller Ebenen durch die Gerade, also ein [204] Ebenenbüschel mit der Geraden als Achse. Zwei projektivische Ebenenbüschel

erzeugen eine Regelfläche zweiter Ordnung

welche in eine Kegelfläche übergeht, wenn die Achsen der Büschel sich schneiden. Drei projektivische Ebenenbüschel

erzeugen eine Raumkurve dritter Ordnung. Drei Ebenen E = 0, E' = 0, E'' = 0 schneiden sich in einem Punkt; E + λE' + μE? = 0 stellt eine beliebige Ebene durch den Punkt, oder aber, wenn λ und μ veränderliche Parameter sind, den Inbegriff aller Ebenen durch den Punkt, also ein Ebenenbündel dar. Kann man jedoch λ und μ so bestimmen, daß E + λE' + μE'' = 0 unabhängig von x, y, z, so gehen E = 0, E' = 0, E'' = 0 durch eine Gerade hindurch. Drei kollineare Ebenenbündel

erzeugen eine Fläche dritter Ordnung

Vier Ebenen E = 0, E' = 0, E'' = 0, E''' = 0 schneiden sich in einem Punkt, wenn

Andernfalls kann man die Gleichung jeder beliebigen Ebene auf die Form E + λE' + μE'' + νE''' bringen.

Literatur: [1] Salmon, G., Analytische Geometrie des Raumes, deutsch von Fiedler, 3. Aufl. Leipzig 1879, Bd. 1, Kap. 3.

Wölffing.