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Komplanation

[579] Komplanation, die Berechnung des Inhalts krummer Flächen.

I. Komplanation in Parallelkoordinaten. Gesucht Stück S der Fläche z = f(x, y), das begrenzt ist durch die Ebenen x = x₀ und x = x₁ und die Zylinderflächen y = φ (x) und y = φ (x). Es ist

Beispiel: Böhmisches Gewölbe, d.h. Fläche der Kugel x² + y² + z² = c², begrenzt durch die Ebenen x = 0, x = a; y = 0, y = b. Es ist: S = c(aα + bβ – cγ), wenn

Besondere Fälle der Komplanation in Parallelkoordinaten.

a) Bei einer Drehungsfläche, die durch Drehung der Kurve y = f (x) um die x-Achse entsteht, hat das von den Ebenen x = x₀ und x = x₁ begrenzte Stück die Fläche

Beispiele: Drehungsellipsoid

b) Der Körper sei begrenzt durch zwei Zylinderflächen y = φ (x) und z = ψ (x), durch die Ebenen y = ₀, z = 0, x = x₀, x = x₁; so ist die Fläche des ersten Zylinders, die an der Begrenzung teilnimmt,

die entsprechende Fläche des zweiten Zylinders

Beispiele:

α) Parabolisches Klostergewölbe gibt mit

[579] also die ganze Fläche

β) Elliptisches Klostergewölbe

das gedrückte Gewölbe.

das überhöhte Gewölbe. γ) Kreisförmiges Klostergewölbe

II. Komplanation im gemischten Polarsystem. Das auf der Fläche z = f(r, φ) durch die Zylinderfläche r = f₁ (φ) und die Ebenen φ = φ₀ und φ = φ₁ begrenzte Stück hat die Fläche

III. Komplanation im reinen Polarsystem Das auf der Fläche r = f(φ, ϑ) durch die Kegelfläche (ϑ)f = fx(d) und die Ebenen ϑ = ϑ₀ und ϑ = ϑ₁ begrenzte Stück ist

Literatur: [1] Serret, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, deutsch von Harnack, Bd. 2, 2. Hälfte, Leipzig 1885, 5. Kap. – [2] Schlömilch, O., Uebungsbuch zum Studium der höheren Analysis, 2. Teil, 2. Aufl., Leipzig 1874, 17–18; 27–29.

Wölffing.