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Parallelkräfte [1]

[31] Parallelkräfte, die an einem starren Körper wirken, haben im allgemeinen eine Resultante, die wieder zu ihnen parallel und gleich ihrer algebraischen Summe ist. Die Resultante zweier Parallelkräfte teilt die Verbindungslinie der Angriffspunkte im umgekehrten Verhältnis der Größe der Kräfte, und zwar von innen, wenn die Kräfte gleich, von außen, wenn sie entgegengesetzt gerichtet sind. Sind die Kräfte gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet, so bilden sie ein Kräftepaar und es existiert dann keine Resultante.

Unter Anwendung der im Art. Aequivalenz der Kräfte (Bd. 1, S. 86) enthaltenen Reduktionen auf das Parallelkräftesystem von der Richtung (α β γ) erhält man

X = P cos α, Y = P cos β, Z = P cos γ, A = cos α Σ P, B = cos β Σ P, C = cos γ Σ P,

R = Σ P, cos a = cos α, cos b = cos β, cos c = cos γ; L = cos γ Σ P_y – cos β Σ P_z,

M = cos α · Σ P_z – cos γ · Σ P_n, N = cos β Σ P_x – cos α Σ P_y; A L + B M + C N= 0.

Ist also Σ P nicht Null, so reduziert sich das System auf eine Einzelstrecke R = Σ P, gleich der algebraischen Summe aller Kräfte längs der Zentralachse derselben. Die Gleichungen der Zentralachse nehmen die Form an:

(y · Σ P – Σ P_y) cos γ – (z · Σ P – Σ P_z) cos β = 0, (z · Σ P – Σ P_z) cos α – (x · Σ P – Σ P_x)

cos γ = 0, (x · Σ P – Σ P_x) cos β – (y · Σ P– Σ P_y) cos α = 0.

Dieselben werden unabhängig von der Richtung (α β γ) der Parallelkräfte befriedigt durch die Koordinaten des Punktes x₁ = Σ P^x : Σ P, y₁ = Σ P_y : Σ P, z₁ = Σ P_z : Σ P. Dieser Punkt des Systems, durch den die Resultante der Parallelkräfte stets hindurchgeht, wie auch immer diese Kräfte um ihre Angriffspunkte gedreht werden mögen, heißt der Mittelpunkt der Parallelkräfte. Er existiert immer im Endlichen, solange Σ P nicht Null ist. Ist dies aber der Fall, so rückt er ins Unendliche, und es ist das Kräftesystem einem Paare äquivalent. Sind die Parallelkräfte den Massen der Angriffspunkte proportional, so ist der Mittelpunkt derselben der Massenmittelpunkt (s.d.). Ist der Proportionalitätsfaktor in dieser Form der Beschleunigung g der Schwere, sind also die Parallelkräfte die Gewichte der Massenpunkte des Systems, so ist er der Schwerpunkt (s.d.).

Literatur: Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, 2. Aufl., Leipzig 1879, Bd. 1, S. 54.

(† Schell) Finsterwalder.