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Polygon [1]

[182] Polygon (Vieleck), eine von geraden Linien begrenzte ebene Figur. Je nachdem die Zahl dieser Begrenzungslinien (Seiten) gleich 3, 4 ... n ist, heißt das Polygon Dreieck, Viereck ... n-eck.

Die Zahl der Ecken ist gleich derjenigen der Seiten. Die Summe der inneren Winkel im n-eck ist (2n – 4) Rechte. Bei einem gewöhnlichen n-eck hat jede Seite mit den beiden anstoßenden je eine Ecke, sonst aber mit keiner Seite einen Punkt gemein. Schneiden sich[182] dagegen zwei nicht anstoßende Seiten, so heißt das Polygon ein verschränktes. Beispiel: das verschränkte oder sternförmige Fünfeck (Pentagramm, Drudenfuß). Ein Polygon heißt regulär, wenn alle Seiten und alle Winkel einander gleich sind. Die Halbierungslinien aller Winkel schneiden sich im Mittelpunkt des In- und des Umkreises des Polygons. Der Zentriwinkel (Winkel der genannten Halbierungslinien) beträgt im n-eck 4/n Rechte, der Polygonwinkel (Winkel zweier Seiten) 2 n – 4/n Rechte. Mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind das reguläre 4-eck, 8-eck, ... 2ⁿ-eck; das 3-eck, 6-eck, 12-eck, ... 3 · 2ⁿ-eck; das 5-eck, 10-eck ... 5 · 2ⁿ-eck; das 15-eck, 30-eck, ... 15 · 2ⁿ-eck; das 17-eck, 34-eck ... 17 · 2ⁿ-eck, das 257-eck, ... überhaupt allgemein das (p^r + 1) · 2ⁿ-eck, wenn p, r, n ganze Zahlen und p^r + 1 eine Primzahl ist. Es sei ferner r der Radius des Umkreises, ρ der des Inkreises, s die Seite, f der Inhalt eines Polygons, so ist im regulären 3-eck

im regulären 4-eck

f = 2 r²; im regulären 6-eck

im regulären 10-eck

Die Peripherie eines Kreises wird näherungsweise berechnet aus den Umfangen eines ein- und umbeschriebenen n-ecks, indem man n immer größer werden läßt.

Literatur: [1] Dilling, Algebraisch-trigonometrische Untersuchungen über die regelmäßigen Vielecke, Halle a. S. 1869. – [2] Affolter, Beiträge zur Geometrie der Vielecke, Solothurn 1870. – [3] Bochow, Einheitliche Theorie der regelmäßigen Vielecke, 2 Bde., Leipzig 1895/96. – [4] Eichler, Ueber Sternpolygone, Wien 1880. – [5] Wiener, Ueber Vielecke und Vielflache, Leipzig 1864. – [6] Brückner, Vielecke und Vielflache, Leipzig 1900. – [7] Scharf, G., Die geometrisch konstruierbaren regelmäßigen Polygone, Brixen 1906.

Wölffing.