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Quadratur

[311] Quadratur, die Berechnung des Flächeninhalts der Ebenenstücke, die von geraden Linien und Kurven begrenzt sind.

1. Quadratur elementarer Flächenstücke: Rechteck von den Seiten a und b ist a b; Dreieck von Seite a und Höhe h ist ¹/₂ a h. Parallelogramm von Seite a und Höhe h ist a h; Trapez von Grundlinien b und d und Höhe h ist (b + d)/2 · h; reguläres Polygon von n Seiten und der Seitenlänge s und dem Inkreisradius ρ ist n s ρ/2, Kreis vom Radius r ist r²π, wo π = 3,1415926 ... die Ludolfsche Zahl. Die Konstruktion dieser Größe ist mit Zirkel und Lineal nicht ausführbar.

2. Quadratur mittels Integralrechnung. Fläche zwischen der Kurve y = f(x), der Abszissenachse und den Ordinaten, die zu x = a und x = b gehören, ist

Sektorfläche zwischen der Kurve r = f(φ) und den zu φ = α und φ = β gehörigen Radienvektoren ist

3. Angenäherte Quadratur mittels linearer Messungen. Es sei eine Fläche zu quadrieren, bei der die Gleichung der Begrenzungskurve nicht gegeben oder die erforderlichen Integrale mit den vorhandenen Mitteln nicht ausführbar sind. Man teilt das Stück h der Abszissenachse zwischen Anfang und Ende der Fläche in 2 n gleiche Teile, die Teilpunkte liefern die Ordinaten y₀y₁ ... y_2n. Ferner sei

u = y₃ + y₅ + y₇ + ... y_2n–3; g = y₂ + y₄ + ... y_2n–2; d = ¹/₂ (y₂ + y_2n–2) – ¹/₂ (y₁ + y_2n–1),

so ist der genäherte Flächeninhalt: nach der Formel von Poncelet 2h g – ¹/₂h d; nach der Formel von Parmentier 2h g – ¹/₃h d; nach der Trapezformel h [g + u + ¹/₂ (y₁ + y_2n–1)]; nach der Simpsonschen Regel ¹/₃h (2u + 4g + y₁ + y_2n–1). Die letztere ist für Flächen, die von gewöhnlichen und kubischen Parabeln begrenzt sind, vollkommen genau.

4. Quadratur durch mechanische Hilfsmittel s. Integraph, Planimeter.

Literatur: [1] Serret, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, deutsch von Harnack, Bd. 2, erste Hälfte, Leipzig 1885, S. 220–235. – [2] Adam, Lehrbuch der Flächen- und Körperberechnung, Langensalza 1875. – [3] Ehrhardt, Neues System der Flächenberechnung, Stuttgart 1900. – [4] Jentzen, Flächen- und Körperberechnungen, 2. Aufl., Weimar 1897. – [5] Schuberth, Illustriertes Handbuch der Flächen- und Körperberechnung, Berlin 1881.

Wölffing.