Gase [4]

[280] Gase , gasförmige Körper. Bewegung derselben. Die S. 276 sowie unter Dampf, gesättigter, und Dampf, überhitzter, angeführten Beziehungen genügen nicht, wenn es sich um die Bewegung gasförmiger Körper[280] handelt. Im folgenden sollen die entsprechenden Ergänzungen für strömende Bewegungen gegeben werden, wobei jedoch neben den Grundgleichungen nur die wichtigsten Fälle berührt werden können. Als strömende Bewegungen tropfbarer und gasförmiger Flüssigkeiten bezeichnet man solche. Bewegungen, die immer im gleichen Sinne stattfinden, im Gegensatze zu schwingenden Bewegungen, wie wir sie als Wasserwellen, elastische Schwingungen u.s.w. beobachten. Es handelt sich dabei besonders um die Bewegungen jener Körper aus Gefäßmündungen und in ruhenden oder rotierenden Kanälen.

a) Grundgleichungen. Wir setzen die Bewegung hinsichtlich eines beliebigen Koordinatensystems im Beharrungszustande voraus, so daß sich die Verhältnisse nicht mehr mit der Zeit, sondern nur noch mit dem Orte ändern. Abgesehen von dem Einflusse derjenigen Bewegungswiderstände, die gewöhnlich als Reibungswiderstände bezeichnet werden, ist der spezifische Druck (Druck pro Flächeneinheit) für alle durch einen Punkt des gasförmigen Körpers gehenden Flächenelemente gleichgroß (Bd. 3, S. 111, 391). Für ein Massenteilchen vom spezifischen Volumen v (Volumen pro Gewichtseinheit) und der Geschwindigkeit w möge er durch p bezeichnet sein. Bedeuten während einer unendlich kleinen Bewegung des Teilchens d M die Arbeit der Massenkräfte (s. äußere Arbeit), d B die Arbeit zur Ueberwindung der erwähnten Bewegungswiderstände, beide pro Gewichtseinheit, so liefert die Mechanik:


Gase [4]

worin


Gase [4]

h ist die lebendige Kraft des betrachteten Teilchens pro Gewichtseinheit, wird aber auch dessen Geschwindigkeitshöhe genannt, weil ein Körper, der von der Höhe h frei herabfällt, die Geschwindigkeit w erlangt.

Im folgenden Tollen, soweit nichts Gegenteiliges bemerkt wird, Meter als Längeneinheit, Kilogramm als Gewichtseinheit gelten, so daß v in Kubikmeter pro Kilogramm und p in Kilogramm pro Quadratmeter einzusetzen sind. Wird nun, wie üblich, angenommen, daß die Widerstandsarbeit d B vollständig in Wärme übergeht, die dem betrachteten Körperteilchen verbleibt, und werden diesem außerdem d Q Kalorien (s.d.) Wärme pro Kilogramm von außen zugeführt, so besteht nach der Wärmetheorie die Gleichung:


Gase [4]

womit aus 1.:


Gase [4]

Hierin bedeuten W = 1/A = 424 das mechanische Wärmeäquivalent (s.d.), U die Eigenenergie (s. Energie) und e die Erzeugungswärme (s.d.) des Teilchens pro Kilogramm. Man hat für Gase der absoluten Temperatur T (Bd. 4, S. 276):


Gase [4]

für gesättigte Dämpfe der spezifischen Dampfmenge x (Bd. 2, S. 539):


Gase [4]

für überhitzte Dämpfe der Ueberhitzung τ (Bd. 2, S. 544):


Gase [4]

doch werden für technische Untersuchungen häufig in allen drei Fällen als genügend genau, angenommen:


Gase [4]

In vorstehenden Gleichungen hat man für Gase:


Gase [4]

für gesättigte Dämpfe: v = xu + σ, bei Wasserdampf von anfänglich x1 > 0,7


Gase [4]

für überhitzten Wasserdampf:


Gase [4]

In vielen Fällen wirkt als einzige Massenkraft die Schwere. Wird dann die y-Achse in die Richtung derselben vertikal abwärts gelegt, so folgt:


Gase [4]

Wirkt neben der Schwere die einer Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die y-Achse entsprechende Zentrifugalkraft (Ventilatoren, Dampfturbinen), so hat man in Entfernung x von der Rotationsachse, wo u = ω x die Umdrehungsgeschwindigkeit bedeutet:


Gase [4]

Bei Vernachlässigung der Schwere gilt diese Gleichung mit dy = 0 auch für nicht vertikale Rotationsachsen.

Da die Gase und Dämpfe sich nach allen Seiten auszubreiten streben, so ist man in der Aerodynamik weit eher als in der Hydrodynamik berechtigt, die Hypothese der Kontinuität anzuerkennen, wonach während der Bewegung in dem bewegten Körper keine leeren Räume entstehen. Wenn nun zu irgend einer Zeit an beliebiger Stelle durch den dortigen Querschnitt F des Körpers in der Sekunde G kg vom Zustande p, v, T mit der Geschwindigkeit w strömen, so drückt sich das sekundliche Durchflußvolumen daselbst aus:


Gase [4]

[281] Diese Beziehung wird gewöhnlich Kontinuitätsgleichung genannt. Sie gilt im allgemeinen nur annäherungsweise, da w und p, v, T nicht für alle Elemente eines Querschnitts gleichgroß zu sein brauchen, so daß man Mittelwerte einzuführen hat.

b) Widerstandskoeffizienten. Die Widerstände gasförmiger wie tropfbarer Flüssigkeiten sind in der Regel durch Erfahrungskoeffizienten zu berücksichtigen. Für irgend eine Strecke ss1 = l des Weges eines betrachteten Teilchens liefert 1.:


Gase [4]

Wird nun gesetzt:


Gase [4]

so heißt ζ der Widerstandskoeffizient, ζ h die Widerstandshöhe für die auf der Strecke f berücksichtigten Widerstände, wonach der Widerstandskoeffizient das Verhältnis der verbrauchten Widerstandsarbeit zur verbleibenden lebendigen Kraft darstellt oder auch das Verhältnis der Widerstandshöhe zur schließlichen Geschwindigkeitshöhe. Bei Berücksichtigung eines einzelnen Widerstandes wird der Widerstandskoeffizient meist auf die Geschwindigkeitshöhe unmittelbar nach Passieren des Widerstandes bezogen. Beispielsweise ermittelte Grashof aus Versuchen von Weisbach mit atmosphärischer Luft für eine rechtwinklige Knieröhre von d = 0,014 m innerem Durchmesser und etwa 3 d Länge der Mittellinie des Kniestücks bei w = 126,7 m ζ = 1,028, bei w = 71,5 m ζ = 0,903, für eine rechtwinklige Kropfröhre von gleichem Durchmesser und etwa 3 d Länge der Mittellinie des Kropfstücks, Halbmesser etwa der Rohrweite entsprechend, bei w= 150,2 m ζ = 0,296, bei w = 82,6 m ζ = 0,188, wonach diese Widerstände mit abnehmender Geschwindigkeit erheblich abnehmen. Meist werden für Gase und Dämpfe in Ermanglung besserer Anhaltspunkte annähernd dieselben Widerstandskoeffizienten wie für Wasser verwendet.

Auch ohne besondere Widerstände, wie sie durch Querschnitts- und Richtungsänderungen bedingt sind, tritt bei der Bewegung gasförmiger und tropfbarer Flüssigkeiten ein allgemeiner Leitungswiderstand auf, für dessen Koeffizienten längs einer Rohrstrecke l oder ds bei kreisförmigem Querschnitt vom Durchmesser d nach Weisbach gesetzt zu werden pflegt:


Gase [4]

während bei beliebigem Querschnitt F vom Umfang U derselbe Ausdruck mit d = 4 F/U verwendet wird. Es bedeutet also λ den Wert von ζ für l = 1, d = 1. Für atmosphärische Luft fanden Pecqueur λ = 0,0237, Zeuner 0,0258, Poncelet 0,0315, Buff 0,0375 u.s.w. Die Verschiedenheit erklärt sich aus der Verschiedenheit der Verhältnisse, unter welchen die Versuche vorgenommen wurden (Rauhigkeit der Wand, Querschnitt, Geschwindigkeit). So ermittelte Grashof aus Versuchen von Weisbach mit Glas-, Messing- und Zinkröhren von d = 0,01 – 0,025 m Durchmesser bei Geschwindigkeiten w = 25 – 185 m:


Gase [4]

worin d, w in Metern einzusetzen. Neuerdings erhielt Brabbée [39] auf Grund ausgedehnter Versuche mit genieteten schmiedeeisernen Luftleitungen von l = 300 – 687 m und d = 0,5 – 0,8 m bei Geschwindigkeiten w = 4 – 17 m konstant λ = 0,0175. Für Heiz- und Lüftungsanlagen werden wegen der Rauhigkeit der Wände meist Werte von λ zwischen 0,024 und 0,08 verwendet. Uebrigens werden durch λ oft besondere Widerstände mitberücksichtigt. Weitere Widerstandskoeffizienten s. unter c), d) und e).

c) Bewegung in Röhren. Von Massenkräften kommt nur die Schwere in Betracht. Auf einer Rohrstrecke l von konstantem Querschnitt F seien neben dem allgemeinen Leitungswiderstand beliebige besondere Widerstände zugelassen, denen die Widerstandskoeffizienten ζ1, ζ2, ... entsprechen. Beziehen sich p1 v1 wp1 h1 auf den Anfang, p, v, w, h auf das Ende der Strecke, so hat man bei konstantem sekundlichen Durchflußgewicht nach 14.:


Gase [4]

und nach 15.–17.:


Gase [4]

worin häufig für das erste oder zweite Integral mit einem Mittelwert von v oder p gesetzt werden kann vm (p – p1) bezw. pm (v – v1).

Den gewöhnlichsten Fall hat man beim Durchfluß von Gasen bei konstanter Temperatur. Dann treten zu 18.:


Gase [4]

und wird aus 19.:


Gase [4]

für genügend kleine Aenderungen von p oder h:


Gase [4]

Sind keine besonderen Widerstände vorhanden oder werden letztere im allgemeinen Leitungswiderstand eingerechnet, so gelten vorstehende Gleichungen mit ζ1 + ζ2 ... = 0, doch lassen sich durch etwas andre Vernachlässigungen für kleine Aenderungen von p, h auch ableiten:[282]


Gase [4]

womit auch p1 – p/p1 = 1 – p/p1 bestimmt ist. Noch etwas weiter gehend, erhält man:


Gase [4]

Diese Gleichung liefert für den Durchfluß mittelfeuchter Luft durch eine horizontale Röhre, wenn l, d, w in Metern eingesetzt werden, mit R = 29,4, y = 0, g = 9,81 m:


Gase [4]

Lorenz [18], [32] erhielt aus Versuchen von Stockalper im Gotthardtunnel, Devillez in einem Kohlenbergwerk, Riedler und Gutermuth an der Druckluftanlage in Paris und Lorenz an der Druckluftanlage in Offenbach bei l = 172 – 16502 m, d = 0,073 – 0,300 m, p1 = 3,2 – 8,1 Atmosphären und w = 1 – 32,7 m:


Gase [4]

worin für pm, wm Mittelwerte des Druckes und der Geschwindigkeit gesetzt werden sollen. Da aber anstatt dieser für die in 25. und 26. vorausgesetzten kleinen Aenderungen von p, w meist die Werte am Anfang oder Ende der in Frage stehenden Rohrstrecke gesetzt werden dürfen, so zeigt der Vergleich von 25., 26., daß unter den von Lorenz berücksichtigten Verhältnissen annähernd gewesen wäre:

λ = 0,009633/d0,31, und beispielsweise für

Gase [4]

Siehe auch Dampfleitungen, Gasrohrleitungen sowie betreffend Zugerzeugung durch Schornsteine [4], [10], [42] und bezüglich weiterer Behandlung von Aufgaben über die Bewegung von Gasen und Dämpfen in Röhren [10], [42].

d) Ausfluß aus Gefäßmündungen. Durch die Mündung eines beliebig geformten Gefäßes fließe Gas oder Dampf, ohne daß von außen Wärme zugeführt oder entzogen wird (d Q = 0). Die Mittelwerte von spezifischem Druck, spezifischem Volumen, absoluter Temperatur, Geschwindigkeit und Geschwindigkeitshöhe seien für einen Querschnitt Fi im Gefäß pi, vi, ti, wi, hi, und für einen Querschnitt F des austretenden Strahles, dessen Schwerpunkt um y unter demjenigen von Fi liegt, p, v, T, w, h. Es handelt sich darum, bei bekannten Verhältnissen im Gefäß (im Querschnitt Fi) die Verhältnisse im Strahlenquerschnitt F, insbesondere die Geschwindigkeit w und das Ausflußgewicht pro Sekunde G zu bestimmen.

Aus 4. ergibt sich mit 8., 12. und d Q = 0:


Gase [4]

und wenn vorbehaltlich geeigneter Wahl von m gesetzt wird (vgl. Polytropische Zustandsänderung):


Gase [4]

bei der üblichen Vernachlässigung von y, hi.


Gase [4]

Abgesehen von der aus der Widerstandsarbeit d B entstandenen Wärme wäre in 28.–30 wegen d Q = 0 der Ausflußexponent m = k (s. Adiabatische Zustandsänderung, Bd. 1, S. 77), wie schon 1839 Saint-Venant und Wantzel [l] und 1855 Weisbach [2] bei den ersten Ableitungen von 29., 30. voraussetzten und auch jetzt noch häufig angenommen wird, während Zeuner [6], [25] durch Wahl andrer geeigneter m den Widerständen beim Ausfluß Rechnung zu tragen suchte. Ist ζ der Widerstandskoeffizient, so ergeben sich:


Gase [4]

Um die Formeln 28.–30. verwenden zu können, muß der Druck p im Strahlquerschnitt F bekannt sein. Daß p nicht allgemein mit dem Druck pa im äußeren Raum übereinstimmt, geht schon daraus hervor, daß die Formeln für den Ausfluß in den luftleeren Raum mit p = pa = 0 das Ausflußgewicht G = 0 und gleichzeitig die größte Ausflußgeschwindigkeit w liefern würden. Mit der abkürzenden Bezeichnung


Gase [4]

pflegt nach dem Vorgange von Saint-Venant und Wantzel für den kleinsten Strahlquerschnitt F gesetzt zu werden:


Gase [4]

wonach p nie unter denjenigen Wert ε pi sinken soll, für welchen zufolge du. bei bestimmtem m das Maximum von G eintritt. Zahlreiche Versuche bis in die neueste Zeit stehen hiermit gut im. Einklang, soweit es sich um sogenannte einfache Mündungen (Mündungen in dünner Wand, kurze, innen gut abgerundete Mündungen, kurze zylindrische Ansatzröhren) handelte [21], [27], [33]. Mit 33. hat man:[283]


Gase [4]

und wenn gesetzt werden:


Gase [4]

womit ai, a die Schallgeschwindigkeiten im Gefäß und im kleinsten Strahlquerschnitt bedeuten (weil nach 28., 32.


Gase [4]

Die Ausflußgeschwindigkeit im kleinsten Strahlquerschnitt kann hiernach nicht größer als die Schallgeschwindigkeit daselbst werden. Gleichung 32. liefert beispielsweise:


Gase [4]

wonach innerhalb ziemlich weiter Grenzen ε = a + b m mit konstanten a, b gesetzt werden kann und sich jedenfalls genau interpolieren läßt.

Unter Voraussetzung genügend kleiner Differenzen zwischen den Drücken pi, pa, wie sie in der Praxis sehr oft vorkommen, ergeben sich mit p = pa aus 29., 30. mit gewissen Vernachlässigungen die Näherungsformeln:


Gase [4]

welche mit den entsprechenden Ausdrücken für Wasser übereinstimmen.

Für Gase, welche dem Boyle-Gay-Lussacschen Gesetze folgen, gelten neben 27.–38. mit y = 0, hi = 0:


Gase [4]

und für


Gase [4]

Sollen die Widerstände vernachlässigt werden, so liefern diese Gleichungen mit m = k = 1,41 und vi in Kubikmetern pro Kilogramm:


Gase [4]

wenn pi in Atmosphären zu 10000 kg pro Quadratmeter


Gase [4]

wenn pi in Atmosphären zu 10333 kg pro Quadratmeter


Gase [4]

Versuche von Fliegener [9] mit innen gut abgerundeten Kreismündungen von d = 0,4 bis 1 cm Durchmesser bei Drücken pi bis 5 Atmosphären und annähernd pa = 1 Atmosphäre führten zu der Gleichung


Gase [4]

unter F den Mündungsquerschnitt verbanden, wonach sich der Einfluß der Widerstände gering ergab. Nach 41. hätte man die größte Geschwindigkeit im kleinsten Strahlquerschnitt: für


ti = 0°100°200°300°400°600°800°1000°
w = 303354399439475542600654 m.

Häufig hat man es mit dem Ausfluß von Wasserdampf zu tun, der als trocken gesättigt gilt. Alsdann folgen aus 35. mit k = 1,135 und vi nach der Gleichung der Grenzkurve (Bd. 2, S. 538):


Gase [4]

worin, wenn pi in Neuatmosphären zu 10000 kg pro Quadratmeter (1 kg pro Quadratzentimeter):


Gase [4]

und wenn pi in Normalatmosphären zu 10333 kg pro Quadratmeter (1,0333 kg pro Quadratzentimeter):


Gase [4]

Wir erhalten beispielsweise


Gase [4]

Zur Erleichterung der Berechnung nach 44. fügen wir die folgende Tabelle bei.[284]


Gase [4]

Der Fall ζ = 0 oder m = k entspricht der Vernachlässigung der Widerstände. Für diesen Fall hat man also beim Ausfluß trocken gesättigten Wasserdampfes von 0,5754 pi > pa:


Gase [4]

Es ergeben sich beispielsweise:


Gase [4]

wonach die Maximalgeschwindigkeiten (Geschwindigkeiten bei Vernachlässigung der Widerstände) im kleinsten Strahlquerschnitt für trockenen gesättigten Wasserdampf nur wenig vom Drucke abhängen.

Bezüglich der Widerstandskoeffizienten ζ beim Ausfluß von Gasen und Dämpfen stehen die Versuchsresultate nicht sonderlich im Einklang miteinander. Häufig wird unter Vernachlässigung der Widerstände ζ = 0, m = k gesetzt, was manchen Resultaten nahekommt. Zeuner hält es bei Berechnung des Ausflußgewichts G atmosphärischer Luft durch einfache Mündungen bis zu den größten Geschwindigkeiten für zulässig, ζ wie beim Ausfluß des Wassers zu wählen. Uebrigens kommt es bei den aus Versuchen folgenden ζ, m im allgemeinen darauf an, ob eine Kontraktion des austretenden Strahles vorausgesetzt wird, ob also, wenn f den Mündungsquerschnitt und F = α f den kleinsten Strahlquerschnitt bezeichnen, α < 1 und nur für nach innen gut abgerundete Mündungen α = 1 angenommen wird, oder ob man allgemein F = f setzt. In dieser Hinsicht wird gegenwärtig nicht immer gleich verfahren. Für den Ausfluß atmosphärischer Luft fand Zeuner bei Druckverhältnissen pi pa = 1 bis 4 für eine innen gut abgerundete Kreismündung von 0,00410 m Durchmesser ζ = 0,105, m = 1,404, für eine andre von 0,00698 m Durchmesser ζ = 0,0123, m = 1,403. Dagegen liefern neuere Versuche von Zeuner für eine ebensolche Kreismündung von 0,00510 m Durchmesser bei Druckverhältnissen pi : pa = 1,82 bis 27,12 stark abweichend ζ = 0,0687, m = 1,372. Aus Versuchen von Weisbach leitete Grashof ohne Annahme einer Kontraktion ab für eine kurze konvergente Ansatzröhre von 0,01002 m Mündungsdurchmesser


Gase [4]

für eine kurze, innen nicht abgerundete zylindrische Ansatzröhre von 0,01402 m Durchmesser


Gase [4]

Zeuner erhielt für kurze, innen nicht abgerundete zylindrische Ansatzröhren von 0,00574 und 0,00698 m Durchmesser bei Druckverhältnissen pi : pa = 1 bis 4 ohne Annahme einer Kontraktion im Mittel ζ = 0,307, m = 1,286. Die Versuche mit gesättigtem Wasserdampf ergaben meist größere Ausflußmengen, als mit Rücksicht auf die Widerstände zu erwarten war, so daß gerade hier für innen gut abgerundete Mündungen fast allgemein ζ = 0, m = k gesetzt wird. Indessen schreibt z.B. Rateau [27] die vielfach erhaltenen großen Ausflußgewichte bei der üblichen Wägung des kondensierten Dampfes dem Umstande zu, daß der Dampf zwar trocken vorausgesetzt war, aber beigemengtes Wasser mitgewogen wurde.

Ueber den Ausfluß von Gasen und Dämpfen bei abnehmendem Drucke und abnehmendem Volumen s. [24], [28], [42], über Sicherheitsventile und andre hierhergehörige Aufgaben [5], [10], [42].

e) Ausfluß. Allgemeinere Behandlung (im Hinblick auf Laval-Düsen u.s.w.). Unter d) wurde von Gleichung 32. an nur die Geschwindigkeit im kleinsten Querschnitt des ausfließenden Strahles in Betracht gezogen. Dies genügt nicht in allen Fällen, z.B. nicht bei den Düsen von Dampfturbinen. Letztere sollen die lebendige Kraft des aus einem Kessel strömenden Dampfes in Nutzarbeit verwandeln, und demgemäß kommt es darauf an, den Dampf bei bestimmtem Kesseldrucke pi mit möglichst großer Geschwindigkeit w ausströmen zu lassen. Dies suchte die Fabrik von de Laval durch geeignete Form der Düsen zu erreichen, deren Querschnitt nach außen erweitert wurde. Es soll deshalb im folgenden der Strahl bis zu beliebigen Querschnitten F von Geschwindigkeiten w und Zuständen p, v, T verfolgt werden. Man nimmt an, daß in einer richtig angeordneten Laval-Düse der Druck vom Druck im Ausflußraum pi bis nahezu auf den Außendruck pa (Druck in der Turbinenkammer) herabgesetzt wird.[285]

Setzt man wieder voraus, daß Wärme von außen weder zugeführt noch entzogen wird und ein Einfluß der Schwere oder sonstiger Massenkräfte außer Betracht bleiben kann, so liefern die Gleichungen 1. und 4. mit d M = 0, d Q = 0:


Gase [4]

neben welchen Beziehungen in jedem Strahlquerschnitt F für das sekundliche Ausflußgewicht G die Kontinuitätsgleichung 14. gilt: Gv = Fw.

Es sei wie oben angenommen, daß der Ausfluß im Gefäß mit der Geschwindigkeit wi = 0 beginnt, dann ergibt die Integration der zweiten Gleichung 49. bis zu einem beliebigen Strahlquerschnitt F:


Gase [4]

Bei Vernachlässigung der Widerstände würde e mit ei durch die Gleichung für adiabatische Zustandsänderungen in Beziehung stehen. Infolge der Widerstände möge die lebendige Kraft des Strahls bei F um einen Bruchteil ξ ihres ohne Widerstände entstehenden Wertes oder um einen Bruchteil ζ ihres verbleibenden Betrages vermindert werden, wobei ζ nach dem unter b) Gesagten der Widerstandskoeffizient bis F heißt und ξ der Verlustkoeffizient bis dahin genannt werden kann. Erhält bei Berücksichtigung der Widerstände die ohne diese eintretende Erzeugungswärme den Index', so ist die wirkliche lebende Kraft pro Gewichtseinheit im Strahlquerschnitt F:


Gase [4]

wonach:


Gase [4]

In 51. hat man nach 5.–7. und den Beziehungen für adiabatische Zustandsänderungen;, wenn T', x', τ' wie e' als Endwerte den letzteren entsprechen, beispielsweise für Gase:


Gase [4]

für gesättigte Dämpfe (Bedeutung von τ s. Bd. 2, S. 542):


Gase [4]

für anfangs und schließlich überhitzte Dämpfe:


Gase [4]

worin ci, c die den Drücken pi, p von der Ueberhitzung 0 bis τi und von 0 bis τ' entsprechenden Mittelwerte der spezifischen Wärme cp, während cp im letzten Ausdruck einen Mittelwert für den adiabatischen Uebergang von Ti in T' bedeutet.

Die Verlustkoeffizienten ξ oder Widerstandskoeffizienten ζ, sind durch Versuche zu bestimmen. Nach den bisherigen Versuchen hätte man für Laval-Düsen bis zur Mündung etwa ξ = 0,11 bis 0,22, ζ = 0,12 bis 0,28, wachsend mit der Länge und Erweiterung. Hierbei ist angenommen, daß der Strahl die Düse vollständig ausfüllt, so daß als Strahlquerschnitt überall der Düsenquerschnitt gelten kann. Dies wird nur dann zutreffen, wenn vom engsten Strahlquerschnitt bis zum Mündungsquerschnitt F keine zu rasche und starke Erweiterung stattfindet. Den Kegelwinkel der Erweiterung nimmt z.B. Stodola zu etwa 10° an, das Verhältnis F : Fε des Mündungsquerschnitts zum kleinsten Strahlquerschnitt pflegt (unter Vernachlässigung der Widerstände) aus den Gleichungen 30., 35. berechnet zu werden; die Bedingung ε pi > pa von 35. ist bei Dampfturbinen stets erfüllt. Wir fügen das bei Vernachlässigung der Widerstände eintretende Verhältnis w : wε der Geschwindigkeiten im Mündungsquerschnitt und kleinsten Strahlquerschnitt bei, während die wirklichen Geschwindigkeiten in beliebigen Strahlquerschnitten aus 51. folgen. Man erhält aus 29., 30. und 35. mit m = k:


Gase [4]

Bei kreisförmigen Strahlquerschnitten von den Durchmessern d, dε (auch bei quadratischen-Querschnitten von den Seitenlängen d, dε) folgt weiter:


Gase [4]

Diese Gleichungen liefern beispielsweise für atmosphärische Luft (Gasturbinen) mit k = 1,41:


Gase [4]

und für


Gase [4]

Bei gesättigtem Wasserdampf hängt k = 1,035 + 0,1 xi von der spezifischen Dampfmenge xi ab. Für trocken gesättigten Dampf folgen aus 56. mit xi = 1, k = 1,135:[286]


Gase [4]

und für


Gase [4]

Auch für überhitzten Wasserdampf kann k in 56. verschiedene Werte annehmen. Mit dementsprechend cp = 0,48, AR = 0,12 und 11. früher allein verwendeten Werte k = 4/3 beispielsweise ergeben sich:


Gase [4]

wobei vorausgesetzt ist, daß der Dampf bis zum Querschnitt F nicht in gesättigten Zustand übergeht. Betreffend den andern Fall s. [42].

Die obigen Zahlenwerte von w/wε zeigen, daß durch Laval-Düsen unter den angeführten Voraussetzungen die Mündungsgeschwindigkeiten w weit über die Geschwindigkeit wε im kleinsten Strahlquerschnitt Fε, d.h. auch über die Schallgeschwindigkeit daselbst hinausgehen kann. Aus diesem Grunde wurde die konische Erweiterung der Düsen bei Dampfturbinen eingeführt. Diskussion über ihre Wirksamkeit und Beispiele der Anwendung vorstehender Gleichungen in [42]; s.a. Dampfturbinen.


Literatur: [1] Barré de Saint-Venant et Laurent Wantzel, Mémoires et expériences sur l'écoulement de l'air etc., Journal de l'école polytechnique 1839, XVI, S. 85. – [2] Weisbach, Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinenmechanik, I, Theoretische Mechanik, 3. Aufl., Braunschweig 1855, S. 820 (5. Aufl., Braunschweig 1875, S. 1049). – [3] Weisbach, Versuche über Ausströmung der Luft unter hohem Druck durch Mundstücke und Röhren, Civilingenieur 1866, S. 1, 71 (vorläufige Mitteilungen Civilingenieur 1859, S. 1). – [4] Grashof, Theorie der Zugerzeugung durch Schornsteine, Zeitschr. des Vereines deutscher Ingenieure 1866, S. 431, 497. – [5] Kolster, Ueber das Ausströmen von Dampf und Luft und über die Dimensionen der gebräuchlichen Sicherheitsventile, Zeitschr. des Vereines deutscher Ingenieure 1867, S. 433; 1868, S. 97. – [6] Zeuner, Neue Darstellung der Vorgänge beim Ausströmen der Gase und Dämpfe aus Gefäßmündungen und Röhren, Civilingenieur 1871, S. 71. – [7] Fliegener, Die Napierschen Versuche, Civilingenieur 1871, S. 215. – [8] Zeuner, Resultate experimenteller Untersuchungen über das Ausströmen der Luft bei starkem Ueberdruck, Civilingenieur 1874, S. 1. – [9] Fliegener, Ergebnisse einiger Versuche über das Ausströmen atmosphärischer Luft, Civilingenieur 1874, S. 14. – [10] Grashof, Theoretische Maschinenlehre, I, Leipzig 1875, S. 546, 630, 698, 955; II, Leipzig 1890, S. 445. – [11] Fliegener, Versuche über das Ausströmen der Luft durch gut abgerundete Mündungen, Civilingenieur 1877, S. 443; 1878, S. 39. – [12] Fliegener, Versuche über das Ausströmen der Luft durch Mündungen in dünner Wand, Civilingenieur 1878, S. 401. – [14] Fischer, Ueber die zweckmäßigste Weite der Dampfleitungen, Dinglers Polyt. Journal 1880, S. 353. – [15] Gutermuth, Ueber die zweckmäßigste Dampfgeschwindigkeit in Dampfleitungsröhren, Zeitschr. des Vereines deutscher Ingenieure 1887, S. 670, 695, 714, 733, 749. – [16] Ser, Traité de physique industrielle, I, Paris 1888; II, Paris 1892. – [17] Mach und Salcher, Optische Untersuchungen der Luftstrahlen, Wiedemanns Annalen 1890, XLI, S. 144. – [18] Lorenz, Die Spannungsverluste in langen Druckluftleitungen, Zeitschr. d. Vereines deutscher Ingenieure 1892, S. 621, 835 (s.a. 819, 820, 999, 1000). – [19] Parenty, Sur des nouvelles expériences permettant de comparer les débits des liquides, des gaz et de la vapeur à travers les mêmes orifices, Compt. rend., 1894, CXIX, S. 419. – [20] Parenty, Sur le débit des gaz parfaits et de la vapeur d'eau sous pression à travers les orifices, Annales de chimie et de physique 1896, VIII, S. 5. – [21] Parenty, Sur les vitesses, les températures et les poids spécifiques des gaz parfaits et de la vapeur d'eau s'écoulant à travers les orifices, Annales de chimie et de physique 1897, XII, S. 289. – [22] Fliegener, Versuche über das Ausströmen der Luft durch konischdivergente Rohre, Schweiz. Bauztg. 1898, XXXI, S. 68, 78, 84. – [23] Emden, Robert, Ueber die Ausströmungserscheinungen permanenter Gase, Wiedemanns Annalen 1899, LXIX, S. 264. – [24] Weyrauch, Ueber den Ausfluß von Gasen und Dämpfen bei abnehmendem Drucke und abnehmendem Volumen, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1899, S. 1162, 1194. – [25] Zeuner, Technische Thermodynamik, I, Leipzig 1900, S. 218; II, Leipzig 1901, S. 146. – [26] Zeuner, Vorlegungen über die Theorie der Turbinen, Leipzig 1901, S. 265. – [27] Rateau, Recherches expérimentales sur l'écoulement de la vapeur d'eau par des tuyères convergentes et des orifices en mince paroi, Annales des mines 1902, I, S. 1. – [28] Schule, Ueber die Ausströmung der gesättigten Wasserdämpfe, Dingl. Polyt. Journal 1903, S. 355, 369, 388. – [29] Emden, P., Die Ausströmungserscheinungen des Wasserdampfes (Dissertation), München 1903. – [30] Stodola, Die Dampfturbinen und die Ausrichten der Wärmekraftmaschinen, Zeitschr. des Vereines deutscher Ingenieure 1903, S. 1 (Stodola, Die Dampfturbinen, Berlin 1905). – [31] Lorenz, Die stationäre Bewegung von Gasen und Dämpfen durch Rohre mit veränderlichem Querschnitt, Zeitschr. des Vereines deutscher Ingenieure 1903, S. 1600. – [32] Lorenz, Technische Wärmelehre, München und Berlin 1904. – [33] Gutermuth, Versuche über den Ausfluß des Wasserdampfes, Zeitschr. des[287] Vereines deutscher Ingenieure 1904, S. 75. – [34] Prandtl, Beiträge zur Theorie der Dampfströmung durch Düsen, Zeitschr. des Vereines deutscher Ingenieure 1904, S. 348. – [35] Berner, Die Fortleitung des überhitzten Wasserdampfes, Zeitschr. des Vereines deutscher Ingenieure 1904, S. 479, 530, 560. – [36] Prandtl, Ueber die stationären Wellen in einem Gasstrahl, Physikalische Zeitschr. 1904, S. 599. – [37] Büchner, Zur Frage der Lavalschen Turbinendüsen, Zeitschr. des Vereines deutscher Ingenieure 1904, S. 1024. – [38] Pröll, Beitrag zur Theorie der stationären Strömung von Gasen und Dämpfen, Zeitschr. für das gesamte Turbinenwesen 1904, S. 161; 1905, S. 151. – [39] Brabbée, Die Lüftungsanlagen beim Baue der großen Alpentunnels, Zeitschr. d. österr. Ingen.- u. Arch.-Vereins 1905, S. 453, 470, 481. – [40] Langrod, Untersuchung der Gasströmung in der Lavaldüse in dem Falle, daß der Druck an der engsten Stelle höher als der kritische ist, Zeitschr. d. österr. Ingen. – u. Arch.-Vereins 1905, S. 580, 592. – [41] Fliegener, Beitrag zur Dynamik der elastischen Flüssigkeiten, Schweiz. Bauztg. 1906, XLVII, S,30, 41. – [42] Weyrauch, Grundriß der Wärmetheorie, II, Stuttgart 1907.

Weyrauch.

Quelle:
Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 4 Stuttgart, Leipzig 1906., S. 280-288.
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