Flächen [2]

[66] Flächen zweiten Grades (vgl. a. Flächentheorie).

A. Eine Fläche zweiter Ordnung (Quadrifläche) hat die Gleichung a11 x2 + 2 a12 x y + a22 y2 + 2 a13 x z + 2 a23 y z + a33 z2 + 2 a14 x ω + 2 a24 y ω + 2 a34 z ω + a44 ω2 = 0 (wo ω die homogenisierende Veränderliche). Sie ist durch neun Punkte bestimmt. Die Polarebene eines beliebigen Punkts (Pols) (a, b, c, d) in bezug auf dieselbe ist:

a (a11 x + a12 y + a13 z + a14 ω) + b (a12 x + a22 y + a23 z + a24 ω) + c (a13 x + a23 y + a33 z + a34 ω) + d (a14 x + a24 y + a34 z + a44) = 0.

Auf jedem Strahl durch den Pol trennt dieser und die Polarebene die beiden Schnittpunkte mit der Fläche harmonisch. Die Polarebene eines Flächenpunkts in bezug auf die Fläche ist die Tangentialebene in demselben. Die Polarebenen aller Punkte einer Geraden gehen durch eine Gerade, die Polargerade der ersteren. Vier Punkte, von denen je drei auf der Polarebene des vierten liegen, bilden ein Polartetraeder. Je zwei Flächen zweiter Ordnung besitzen ein gemeinsames Polartetraeder. Der Pol der unendlich fernen Ebene heißt Mittelpunkt der Fläche; derselbe fällt ins Unendliche, wenn die Fläche die unendlich ferne Ebene berührt. Durch den Mittelpunkt gehen drei Ebenen (Hauptebenen), die auf den Richtungen nach ihren unendlich fernen Polen senkrecht stehen und die sich in den drei Hauptachsen schneiden (s. Durchmesser). Wird der Mittelpunkt zum Ursprung und die Hauptebenen zu Koordinatenebenen gemacht, so enthält die Flächengleichung nur quadratische Glieder. – Die Einteilung der Flächen zweiter Ordnung ist folgende:

Es sei


Flächen [2]

; Aik die Unterdeterminante von aik in A; ferner φ1 = aii (aii akk – aik2); φ2 = aii; φ3 = A44 (aii akk – aik2); φ4 = A · A44 (wo i und k irgend welche der Zahlen 1, 2, 3 sind). Dann sind zu unterscheiden:

1. A Flächen [2] 0. Eigentliche Flächen zweiter Ordnung.

a) A44 Flächen [2] 0. Mittelpunktsflächen:

Alle Größen φ haben gleiches Zeichen: imaginäres Ellipsoid x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 + 1 = 0.

Die Größen φ1 φ2 φ3 haben gleiches, φ4 entgegengesetztes Zeichen: reelles Ellipsoid x2/a2 + y2/b2+ z2/c2 = 1. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer reellen oder imaginären Ellipse geschnitten; sie liegt ganz im Endlichen; a, b, c heißen Halbachsen.

Zwei der Größen φ sind positiv, zwei negativ: einmanteliges Hyperboloid x2/a3 + y2/b2 – z2/c2 = 1. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer reellen Ellipse, einer Parabel oder einer Hyperbel geschnitten. Sie besteht nur aus einem einzigen, sich ins Unendliche erstreckenden Mantel und enthält zwei Scharen von reellen Geraden

Flächen [2]

Jede Schargerade schneidet alle Geraden der andern und keine der eignen Schar. Die Fläche ist der Ort einer Geraden, die immer drei Gerade schneidet; sie ist eine windschiefe Regelfläche.

Von den Größen φ1 φ2 φ3 haben zwei dasselbe Vorzeichen wie φ4, die dritte das entgegengesetzte: Zweimanteliges Hyperboloid x2/a2 – y2/b2 – z2/c2 = 1. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer reellen oder imaginären Ellipse, Parabel oder Hyperbel geschnitten. Sie enthält keine reellen Geraden und besteht aus zwei Mänteln, die im Unendlichen zusammenhängen.

b) A44 = 0 Paraboloide. Der Mittelpunkt liegt im Unendlichen.

φ1 und φ2 haben gleiches Zeichen: elliptisches Paraboloid x2/a2 + y2/b2 = 2 z/c. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer reellen oder imaginären Ellipse oder in einer Parabel geschnitten und erstreckt sich ins Unendliche. Sie enthält keine reellen Geraden.

φ1 und φ2 haben entgegengesetzte Vorzeichen: hyperbolisches Paraboloid x2/a2 – y2/b2 = 2z/c. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer Parabel oder Hyperbel geschnitten;[66] sie ist sattelförmig und hat mit der unendlich fernen Ebene ein Geradenpaar gemein. Sie enthält zwei Scharen von Geraden

Flächen [2]

und ist der Ort einer Geraden, die immer zwei andre schneidet und zu einer gegebenen Ebene parallel bleibt.

2. A = 0; nicht alle ersten Unterdeterminanten Aik von A verschwinden. Kegelflächen.

a) A44 Flächen [2] 0. Eigentliche Kegelflächen.

φ1 φ2 φ3 haben gleiche Vorzeichen: imaginärer Kegel x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 + 1 = 0. Derselbe hat nur die Spitze als einzigen reellen Punkt.

φ1 φ2 φ3 haben nicht gleiche Vorzeichen: reeller Kegel x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 + 1 = 0. Derselbe wird von jeder Ebene in einer reellen Ellipse, Parabel oder Hyperbel (oder einem Geradenpaar) geschnitten. Er erstreckt sich ins Unendliche, ist eine abwickelbare Regelfläche und enthält eine Schar von Geraden:


Flächen [2]

die alle durch die Spitze gehen.

b) A44 = 0. Zylinderflächen.

φ1 und φ2 haben gleiche Vorzeichen: elliptischer Zylinder x2/a2 + y2/b2 = 1. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer Ellipse (oder einem Parallelenpaar) geschnitten, erstreckt sich ins Unendliche und enthält eine Schar von parallelen Geraden:


Flächen [2]

φ1 und φ2 haben verschiedene Vorzeichen: hyperbolische Zylinder x2/a2 – y2/b2 = 1. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer Hyperbel (oder in einem Parallelenpaar) geschnitten, erstreckt sich ins Unendliche und enthält eine Schar von Geraden:


Flächen [2]

φ1 = φ2 = 0. Parabolischer Zylinder x2/a2 = 2 y/b. Die Fläche wird von jeder Ebene in einer Parabel (oder einem Parallelenpaar) geschnitten, erstreckt sich ins Unendliche und enthält eine Schar von Geraden:


Flächen [2]

3. A = 0; alle Aik = 0, nicht alle Unterdeterminanten zweiter Ordnung verschwinden: Ebenenpaare.

φ1 und φ2 haben gleiches Vorzeichen: imaginäres Ebenenpaaar x2/a2 + y2/b2 = 0.

φ1 und φ2 haben entgegengesetztes Vorzeichen: reelles Ebenenpaar x2/a2 – y2/b2 = 0.

φ1 = φ2 = 0. Parallelebenenpaar x2/a2 ± 1 = 0.

4. Alle Unterdeterminanten zweiter Ordnung verschwinden: Doppelebene x2 = 0.

Zu den Flächen zweiter Ordnung gehören folgende Drehungsflächen:

Das Drehungsellipsoid x2 + y2/a2 + z2/c2 = 1. Es entsteht durch Drehung einer Ellipse um eine Hauptachse und heißt abgeplattet (Sphäroid) oder verlängert, je nachdem Flächen [2] ist.

Das einmantelige Drehungshyperboloid x2 + y2/a2 – z2/c2 = 1 entsteht durch Drehung einer Hyperbel um die imaginäre Achse oder durch Drehung einer Geraden um eine zu ihr windschiefe Gerade.

Das zweimantelige Drehungshyperboloid x2 + y2/a2 – z2/c2 + 1 = 0 entsteht durch Drehung einer Hyperbel um die reelle Achse.

Die Kugel x2 + y2 + z2 = a2.

Das Drehungsparaboloid x2 + y2/a2 = 2 z/c entsteht durch Drehung einer Parabel um ihre Achse.

Der Drehungskegel (gerade Kreiskegel) x2 + y2/a2 – z2/c2 = 0 entsteht durch Drehung einer Geraden um eine sie schneidende Gerade.

Der Drehungszylinder (Kreiszylinder) x2 + y2/a2 = 1 entsteht durch Drehung einer Geraden um eine Parallele zu derselben.[67]

Kreisschnitte der Fläche zweiter Ordnung erhält man durch Ebenen parallel zu den Tangentialebenen in den Kreispunkten. Konfokal heißen zwei Flächen zweiter Ordnung x2/L + y2/M + z2/N = 1 und x2/L – P + y2/M – P + z2/N – P = 1. Alle zu einer gegebenen Fläche konfokalen Flächen bilden eine Schar, von der durch jeden Raumpunkt drei Flächen (ein Ellipsoid, ein einmanteliges und ein zweimanteliges Hyperboloid) hindurchgehen. Die Schnittkurve zweier Flächen zweiter Ordnung ist eine Raumkurve vierter Ordnung erster Spezies.

B. Flächen zweiter Klasse. Eine solche hat die Gleichung:

A11 u2 + 2A12 uv + A22 v2 + 2A13 u w + 2A23 v w + A33 w2 + 2A14 ut + 2A24 vt + 2A34 wt + A44 t2 = 0. Die Flächen zweiter Klasse sind mit denjenigen zweiter Ordnung identisch, wenn die Determinante


Flächen [2]

nicht verschwindet. Verschwindet A', so kommen folgende neue Gattungen hinzu:

a) A' = 0; nicht alle ersten Unterdeterminanten von A' verschwinden: Eigentlicher Kegelschnitt.

φ1, φ2, φ3 haben gleiches Vorzeichen: imaginärer Kegelschnitt u2/a2 + v2/b2 + 1 = 0.

φ1, φ2, φ3 haben nicht alle gleiche Vorzeichen: reeller Kegelschnitt.

1. ψ = (A44 Aii – Ai42) (A44 Akk – Ak42) – (A44 Aik – Ai4 Ak4)2 (wo i, k irgend welche der Zahlen 1, 2, 3) positiv: Ellipse u2/a2 + v2/b2 = 1.

2. ψ negativ: Hyperbel u2/a2 – v2/b2 = 1. 3. A44 = 0. Parabel u2/a2 = 2 v/b.

b) A' = 0; alle ersten Unterdeterminanten von A', nicht aber alle zweiten verschwinden: Punktenpaare.

φ1 und φ2 haben gleiches Zeichen: imaginäres Punktepaar: u2/a2 + v2/b2 = 0.

φ1 und φ2 haben verschiedene Zeichen: reelles Punktepaar: u2/a2 – v2/u2 = 0.

c) A' = 0; alle zweiten Unterdeterminanten von A' verschwinden: Doppelpunkt u2 = 0.


Literatur: [1] Salmon, Analytische Geometrie des Raums, deutsch von Fiedler, 1. Teil, 4. Aufl., Leipzig 1898. – [2] Clebsch, Vorlesungen über Geometrie, bearbeitet von Lindemann, Bd. 2, 1. Teil, Leipzig 1891, 2. Abt. – [3] Hesse, O., Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes, 3. Aufl., Leipzig 1876. – [4] Schröter, H., Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung, Leipzig 1880. – [5] Weinmeister, J.P., Die Flächen zweiter Ordnung, Leipzig 1880–81, Bd. 1, 2. – [6] Simon, M., Die Flächen zweiter Ordnung, Leipzig 1901. – [7] Staude, Die Fokaleigenschaften der Flächen zweiter Ordnung, Leipzig 1896. – [8] Brockmann, Zur Theorie der Linienflächen zweiter Ordnung, Rostock 1904.

Wölffing.

Quelle:
Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 4 Stuttgart, Leipzig 1906., S. 66-68.
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