Negative Zahlen

[496] Negative Zahlen (negative Größen), in der Arithmetik eingeführte Zahlen, mit deren Hilfe man das Ergebnis einer Subtraktion auch dann ausdrücken kann, wenn der Subtrahendus größer ist als der Minuendus. Z.B. ist die Differenz 5–7 in der natürlichen Zahlenreihe 1, 2, 3 ... nicht enthalten, weil 7 größer ist als 5, man kann also die Subtraktion im Gebiete der natürlichen Zahlen nicht vollenden, sondern nur sagen: weil 7 = 5+2 ist, so ist 5–7 = 5 vermindert um 5 und um 2, oder da 5–5 gleich Null (= 0) ist, 5–7 = 0–2. Für 0–2 schreibt man nun -2 (gelesen minus 2) und nennt jede solche Zahl, die in der Form 0 -a darstellbar ist, unter a eine der natürlichen Zahlen 1, 2, 3 ... verstanden, eine negative Zahl, während man im Gegensatz dazu die alten Zahlen 1, 2 ... positiv nennt und, wenn nötig, mit dem Vorzeichen + (gelesen plus) versieht. Durch Einführung der Null und der negativen Zahlen bekommt die natürliche Zahlenreihe eine Fortsetzung nach links: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... Die Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen müssen so gefaßt werden, daß alle für die positiven Zahlen gültigen Gesetze auch für die negativen Zahlen bestehen bleiben, namentlich die Gesetze der Addition (s. d.), weil nur unter dieser Voraussetzung beide Arten von Zahlen als gleichberechtigt betrachtet werden dürfen. Nun ist, wenn +a eine positive Zahl bedeutet, -a = 0-(+a), also -(+a) = -a, ferner, da die Addition der Null nichts ändert:-a = 0+(-a) = +(-a), also +(-a) = -a. Endlich folgt aus -a = 0-(+a) nach dem Begriff der Subtraktion (Subtrahendus+Differenz = Minuendus): (+a)+(-a) = 0 oder nach den Gesetzen der Addition: (-a)+(+a) = 0, mithin +a = 0-(-a), oder kürzer geschrieben- (-a) = +a. Man drückt diese Gesetze gewöhnlich so aus: minus mal plus und plus mal minus ergeben minus, aber minus mal minus ergibt plus. Ähnlich findet man, wenn a und b beliebige positive oder negative Zahlen sin d:- (a+b) = (-a)+(-b), wofür man meistens schreibt -a-b. Durch Einführung der negativen Zahlen wird die Subtraktion als eigne Rechnungsart entbehrlich und erscheint als ein besonderer Fall der Addition. Eine Summe aus positiven und negativen Zahlen nennt man algebraisch, im Gegensatz zu der arithmetischen Summe, die aus lauter positiven Summanden besteht. Die positiven und die negativen Zahlen stehen zueinander in einem vollkommenen Gegensatz, da jede von beiden Zahlenarten durch ein vorgesetztes- (durch Wechsel des Vorzeichens) in die andre übergeht. Man nennt daher auch +a und -a entgegengesetzt gleich. Überall, wo Größenarten auftreten, die einander entgegengesetzt sind, wie Vermögen und Schulden, Gewinn und Verlust, Nord- und Südmagnetismus, kann man diesen Gegensatz rechnerisch darstellen, indem man die einen Größen (z. B. das Vermögen) durch positive, die andern (die Schulden) durch n. Z. ausdrückt. Vgl. Stolz, Größen und Zahlen (Leipz. 1891); Stolz und Gmeiner, Theoretische Arithmetik, 1. Abt. (das. 1901); Schubert, Elementare Arithmetik und Algebra (das. 1899).