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Sphäroid

[535] Sphäroid (v. gr.), ein kugelähnlicher Körper. Denkt man sich eine halbe Ellipse, um die sie begrenzende unverrückte Achse, so lange nach einerlei Richtung gedreht, bis sie wieder in ihre anfängliche Lage gekommen ist, so heißt der von dieser begrenzten Ebene durchlaufene Raum ein längliches od. abgeplattetes (gedrücktes) S., je nachdem die Drehungsachse die Haupt- od. Nebenachse der erzeugenden Ellipse war. Das S. ist also eine, in die Länge gezogene, od. auf zwei entgegengesetzten Seiten eingedrückte Kugel, was dort die Kreise waren, sind hier Ellipsen u. was dort (s. Kugel) von den Kreisen gesagt wurde, gilt hier mit den nöthigen Modificationen von den Ellipsen. Ein solches S. heißt auch Rotationsellipsoid, seine durch die Rotationsachse geführten Durchschnitte sind Ellipsen, wogegen alle gegen die Rotationsachse senkrechten Schnitte Kreise sind. Es hat also nur zwei verschiedene Achsen. Unsere Erde ist ein S. nach den Polen hin eingedrückt. Unter S. im weiteren Sinne versteht man einen dem vorigen ähnlichen Körper, welcher sich jedoch dadurch unterscheidet, daß auch die auf der senkrechten Achse senkrechten Schnitte Ellipsen sind; er hat also drei an Größe verschiedene Achsen. Hauptsätze über das S., welche des auch in der mathematischen Geographie ihre Anwendung finden, sind: Jede durch einen Punkt innerhalb eines S. gelegte Ebene gibt zum Schnitte eine Ellipse. Alle einander parallelen Schnitte eines S. sind einander ähnlich, d.h. solche Ellipsen, worin die beiden Achsen einerlei Verhältniß haben. Die Mittelpunkte dieser Ellipsen liegen in Einer Geraden u. die gleichnamigen Achsen in Einer Ebene. Wenn zwei parallele Ebenen ein S. berühren, so ist die Verbindungslinie der Berührungspunkte ein Durchmesser desselben. Legt man durch den Mittelpunkt eine dritte, mit jenen parallele Ebene, so liegen alle mit der Verbindungslinie gezogenen Parallelen, welche durch die erhaltene Ellipse gehen, außerhalb des S. u. bilden, als stetig gedacht, einen dem Körper umschriebenen Cylinder. Jede durch den Mittelpunkt eines S. gelegte Ebene halbirt dasselbe, so wie seine Oberfläche. Das Stück der Oberfläche eines S., welches zwei auf einer Achse senkrecht stehende Ebenen begrenzen, heißt eine Zone desselben. Hier soll blos von solchen Zonen die Rede sein, bei denen die eine begrenzende Ebene durch den Mittelpunkt des S. geht, weil sich jede andere als die algebraische Summe zweier solchen Zonen betrachten läßt; auch können die Formeln hier nur für die Rotationssphäroïde, wenn die Schnitte auf der Drehungsachse senkrecht stehen, gegeben werden, da man für das S. mit drei ungleichen Achsen keinen endlichen Ausdruck erhält u. Mangel an Raum[535] die Mittheilung der Reihe unmöglich macht. Bezeichnet 2a die Haupt-, 2b die Nebenachse der erzeugenden Ellipse, Z die Zone des S. u. y od. x den Abstand der zweiten Durchschnittsebene von der durch den Mittelpunkt gehenden, so hat man für das abgeplattete S.

od wenn man entwickelt:

für das längliche S. aber

wo e die Excentricität der erzeugenden Elipse, also

u. der Kürze wegen

gesetzt ist. Nimmt man a = b, so ergibt sich am leichtesten aus der entwickelten Formel für die Zone des gedrückten S., wenn man die Glieder des zweiten Factors einzeln durch e dividirt, weil

die Kugelzone = 2 π ay. Wird aber y = b u. x = a genommen u. der dadurch für Z erhaltene Werth verdoppelt, so geht u in e über u. man erhält die Oberflächen der Rotationssphäroïden, u. zwar die des abgeplatteten

oder

die des oblongen aber

Arc. sin e od.

Das Volumen des gedrückten S. = ⁴/₃ π a ² b, u. des länglichen = ⁴/₃ π ab². Es erhält sich also für dieselbe erzeugende Ellipse das gedrückte S. zu dem oblongen wie a : b. Jenes ist mithin größer als dieses. Eben so ist die Oberfläche des ersteren größer als die des letzteren. Werden aus einem Punkte außerhalb eines S. an dieses beliebig viel Berührungslinien gezogen, so ist der Ort der Berührungspunkte (der optische Horizont des Punktes genannt) eine Ellipse. Die Berührungsebene an den Durchschnitt der Verbindungslinie des gegebenen Punktes u. des Mittelpunktes mit der Oberfläche des S. ist dem optischen Horizont parallel. Wenn durch diese Verbindungslinien beliebig viele Ebenen gelegt u. die dadurch erhaltenen Ellipsen von einer dem optischen Horizonte parallelen Ebene durchschnitten werden, so begegnen die in den Durchschnittspunkten an jene Ellipsen gezogenen Berührungslinien einander alle in einem u. demselben Punkte, welcher in der gedachten Verbindungslinie liegt. Die Achsen des optischen Horizonts. liegen mit dem Kreise der größten. u. kleinsten Krümmung desjenigen Punktes, in welchem die erwähnte Verbindungslinie der Oberfläche des S. begegnet, in einer u. derselben Ebene etc. Archimedes hat zuerst in der Schrift von den Konoiden u. S-en Untersuchungen über die S-e angestellt, worunter er blos die durch Drehung erzeugten Flächen versieht. Außer einer Reihe von Sätzen, zu denen die oben aufgeführten gehören, gibt er die Vergleichung beliebiger sphäroïdischer Abschnitte mit Kegeln von derselben Grundfläche u. demselben Scheitel, die schneidenden Ebenen mögen senkrecht od. schief auf der Drehungsachse stehen.