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Wurzel [2]

[796] Wurzel, in der Mathematik die Zahl, die man durch Zerlegung einer gegebenen Zahl, des Radikanden, in mehrere gleich große Faktoren erhält; die Anzahl dieser Faktoren heißt der Wurzelexponent, und nach ihr wird die W. benannt. Es ist z. B. 8 die zweite W. oder Quadratwurzel aus 64 (8 = √64), weil 8.8 = 64 ist; 5 die dritte W. oder Kubikwurzel aus 125 (5 = ∛125), weil 5. 5. 5 = 125 ist; 6 die vierte W. aus 1296 (6 = ∜1296), weil 6.6.6.6 = 1296 ist; 2 die fünfte W. aus 32 (2 = ⁵√32), weil 2.2.2.2.2 = 32 ist, etc. Das Wurzelzeichen √, bei längern Zahlen oben noch durch einen wagerechten Strich verlängert, ist aus dem Anfangsbuchstaben r des lateinischen Wortes radix = W. entstanden; die Wurzelexponenten werden ihm in der angegebenen Weise beigeschrieben, doch wird der Exponent 2 gewöhnlich weggelassen. Man kann die Wurzeln aber auch als Potenzen mit gebrochenen Exponenten schreiben (s. Potenz). Jede W. hat so viele verschiedene Werte, wie ihr Exponent angibt. Z. B. kann √4 sowohl = +2 als = -2 sein, weil auch (-2).(-2) = (-1).(-1). 4 = +4 ist (s. Negative Zahlen und Multiplikation). In der Praxis handelt es sich aber meist um Wurzeln aus positiven Zahlen, und man versteht dann unter ⁿ√a gewöhnlich die in ihrer Art einzige positive Zahl, deren me Potenz gleich a ist. Die Berechnung dieser positiven Zahl heißt Ausziehen der nten W. aus a (Radizieren) und erfolgt am raschesten mit Hilfe der Logarithmen (s. Logarithmus), die man außer im Falle n = 2 stets benutzt. Hier soll daher nur das Ausziehen der Quadratwurzeln ohne Logarithmen erklärt werden.

Um die Quadratwurzel aus einer gegebenen ganzen Zahl, z. B. 34012224, zu ziehen, teile man 1) diese von rechts nach links durch senkrechte Striche in Klassen von je 2 Ziffern: 34|01|22|24; nur die höchste Klasse (links) erhält bei ungerader Zifferzahl bloß eine einzige Ziffer. 2) Unter den Quadratzahlen

suche man die größte, die sich von der höchsten Klasse (34) abziehen läßt (25); ihre Quadratwurzel (5) ist die erste Ziffer der gesuchten W. Das Quadrat 25 selbst ziehe man von 34 ab. 3) An den Rest (9) hänge man die Ziffern der nächsten Klasse (01) und schreibe daneben als Divisor das Doppelte der bisher erhaltenen Zahl (2.5 = 10). 4) Man führe dieDivision aus, lasse aber dabei die letzte Ziffer (1) des Dividenden unbeachtet. 5) Der Quotient (8) ist die zweite Ziffer des Ergebnisses und wird sowohl der ersten Ziffer (5), als dem Divisor 10 angehängt (vgl. die beistehende Rechnung A), worauf man 8.108 = 864 von 901 abzieht und den Rest 37 erhält.

Bei der Division muß man den Quotienten immer so wählen, daß diese Subtraktion möglich ist; man darf also in dem gegebenen Falle nicht 90: 10 = 9 setzen, weil 9. 109 = 981 sich nicht von 901 abziehen läßt. 6) An den bei der Subtraktion erhaltenen Rest (37) hängt man die Ziffern der nächsten Klasse (22) und dividiert mit dem Doppelten des Ergebnisses 58, also mit 116, in 372, indem man die letzte Ziffer (2) von 3722 vorläufig unbeachtet läßt. Der Quotient (3) ist die nächste Ziffer der W., wird aber auch an den Divisor 116 angehängt, worauf man 3. 1163 = 3489 von 3722 abzieht und den Rest 233 erhält. Mit diesem Rest und dem Ergebnisse 583 wiederholt man nun dasselbe Verfahren, d. h. man wendet die Vorschriften 3) bis 5) an und erhält von der W. noch die Ziffer 2, bei der die Rechnung ausgeht. Es ist also 5832 die gesuchte W. (Vgl. A, wo die an die Divisoren angehängten Quotienten durch kleinere Schrift ausgezeichnet sind.) Das hier erläuterte Verfahren beruht auf der Formel (a+b)'' = as+2 ab+b''; a ist der bereits bekannte Teil der Quadratwurzel, b der durch Division mit 20 in dem Rest zu findende Teil.

7) Wenn bei wiederholter Ausführung der Vorschriften 3) bis 6) alle Klassen heruntergenommen sind, ohne daß die Rechnung ausgeht, so läßt sich die Quadratwurzel nicht genau angeben (sie ist irrational). Man kann aber durch Wiederholung der beschriebenen Rechnungen, indem man statt der »2 Ziffern der nächsten Klasse« je 2 Nullen an den Rest anhängt, beliebig viele Dezimalstellen der W. ermitteln (vgl. die Rechnung B). 8) Kommt bei einer Division der Quotient Null heraus, so hänge man diesen an das Ergebnis und an den Divisor, nehme sodann die nächste Klasse herunter und dividiere weiter.[796] (Vgl. die Rechnung C, wo 9: 12 den Quotienten 0 gibt, worauf man 966: 120 = 8 erhält.) 9) Geht die Subtraktion auf, und bleiben noch eine oder mehrere Klassen übrig, die lauter Nullen enthalten, wie in C. so hängt man an das bis dahin erhaltene Resultat (608) so viel Nullen, als noch Klassen da sind. In C ergibt sich also 60800 als W. 10) Soll man die Quadratwurzel aus einer Zahl ziehen, die mit einem Dezimalbruch behaftet ist, so beginnt man die Abteilung in Klassen von je 2 Ziffern vom Dezimalkomma aus, in den Ganzen nach links, in den Dezimalen nach rechts gehend; dabei kann man der letzten Klasse (rechts) in den Dezimalen, wenn sie nur eine einzige Ziffer enthält, eine Null anhängen. Die Rechnung bleibt die oben beschriebene, nur muß im Resultat ein Komma gesetzt werden, bevor die ersten Dezimalstellen heruntergenommen werden, z. B. √(34|01,|22|24) = 58,32; vgl. oben A. 11) Enthält der Radikand auf der linken Seite eine oder mehrere Klassen mit lauter Nullen, so hat die W. links ebensoviel Nullen, als die Zahl jener Klassen beträgt; z. B. √(0,|12|96) = 0,36, √(0,|00|12|96) = 0,03612) Hat man die Quadratwurzel aus einem gemeinen Bruch zu ziehen, so kann man diesen in einen Dezimalbruch verwandeln und dann die W. ausziehen, oder man zieht die Wurzeln aus Zähler und Nenner und dividiert dann. Im letztern Falle multipliziert man vor dem Radizieren Zähler und Nenner mit einer passenden Zahl, so daß der Nenner ein Quadrat wird; z. B.

Das Ausziehen der Kubikwurzel kann durch ein ähnliches, nur viel umständlicheres Verfahren geleistet werden, das nicht mehr angewendet wird. Über die Wurzeln einer Gleichung s. d.