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Polhöhenbestimmung

[169] Polhöhenbestimmung. Ein großes und wichtiges Kapitel der geodätischen und astronomischen Lehren bildet die Bestimmung der Polhöhe (s. Breite, geographische). Die geodätische Bestimmung der Polhöhe eines Ortes kann nur eine relative sein, d.h. sie kann nur durch Uebertragung der bekannten Breite eines Ortes auf der Erde durch Distanz und Azimut nach einem andern Orte geschehen. Vgl. dazu Geodätische Uebertragung. Die astronomische Polhöhenbestimmung, die auf verschiedene Weise geschehen kann, ist eine absolute Messung, und diese allein mag hier näher erläutert werden.

1. Einleitung. Die direkte Bestimmung der Polhöhe φ ist erreicht, wenn das Zenit Z des Beobachtungspunkts (vgl. Fig. 1, welche den Meridianschnitt darstellt) gegen den Kulminationspunkt K irgend eines Sterns mit bekannter δ bestimmt ist, d.h. wenn der Bogen ZK gemessen ist. Es ist nämlich Bogen Z A = φ, ferner A K = φ, somit, wenn die Kulminations- (d.h. die Meridian-)Zenitdistanz Z K des Gestirns mit z₀ bezeichnet wird (z₀, d.h. der gemessenen Zenitdistanz verbessert für Refraktion und wenn nötig für Parallaxe, vgl. die Art. Höhenwinkel und Refraktion resp. Parallaxe)

φ = z₀ + δ (= 90° – h₀ + δ).

1.

Für weniger genaue Bestimmung der geographischen Breite, z.B. auf einer Reise, genügt in der Tat die Messung einer solchen Kulminationszenitdistanz (Meridianhöhe) bis auf 0,'3 bis 0,'5. Ist das Gestirn die Sonne oder ein Planet, so muß δ für die Ortszeit des Meridianstands interpoliert werden. Kennt man den Moment der Kulmination des Gestirns ziemlich genau, so liefert die Messung der Höhe resp. die Zenitdistanz in diesem Moment ein recht gutes Resultat für die Polhöhe nach 1. Ist die Zeit der Beobachtung aber weniger scharf bekannt, so muß man eine größere Anzahl von Messungen machen und diese durch graphische Austragung nach Uhrangabe als Abszisse und nach Höhe als Ordinate oder auch durch rechnerische Behandlung ausnutzen zur Ableitung der größten Höhe. Es braucht dann also gar nicht einmal der Fehler der Uhr bekannt zu sein, nur ein einigermaßen gleichförmiger Gang derselben ist erforderlich. Wie immer verteilt man bei solchen Messungen die Einstellungen gleichmäßig auf beide Fernrohrlagen, darf aber nicht I und II zusammenfassen, sondern muß sie getrennt reduzieren (Indexfehler, + und – in der I. und II. Lage, vorläufig als erst am Schluß zu bestimmende Unbekannte mitgeführt). Handelt es sich um genauere Ermittlung der Polhöhe, so schlägt man mit Vorteil das folgende Verfahren ein:[169]

2. Zirkummeridianzenitdistanzen. Da man im allgemeinen das Gestirn nicht gerade im Meridian beobachten kann, es auch mehrmals anvisieren will, so mißt man nahe beim Meridian sogenannte Zirkummeridianhöhen oder -zenitdistanzen, z.B. Höhen der Sonne, die nicht weit entfernt vom wahren Mittag liegen, und »reduziert« sie auf den Meridian, d.h. man bringt an die jeweils gemessene Zenitdistanz eine Korrektion an, die den Unterschied zwischen z₀ und z ausdrückt. Ist t der Stundenwinkel im Augenblick der Messung östlich oder weltlich vom Meridian (der besonders bei kleinem z₀ nicht groß sein darf, z.B. nicht über 10 oder 15 Zeitminuten; für einen Stern sehr nahe beim Pol vgl. 3.), so ergibt sich die Reduktion auf den Meridian genügend aus:

(wobei für

sehr ausführliche Tafeln vorhanden sind; vgl. unten); bei größerem t und schärferer Rechnung ist rechts beizufügen:

Setzt man dann den aus den Einzelmessungen sich ergebenden Mittelwert von z₀ oder h₀, wie er sich aus dem gemessenen z oder h gemäß 2. ergibt, in 1. ein, so ist die Aufgabe gelöst.

3. Polarishöhen. Ebenso bequem wie die Höhen der Sonne, der Planeten oder der helleren Fixsterne in der Nähe des Meridians nach 2. (Messung über Mittag oder wenigstens in der Morgen- oder Abenddämmerung) ist für weniger genaue Bestimmungen in nicht zu kleinen Breiten auf der Nordhalbkugel eine Polarishöhe zu beliebiger bekannter Zeit.

Die Bedingung für eine genaue Bestimmung von φ ist, daß das beobachtete Gestirn seine Zenitdistanz nur langsam ändert, damit eine Unsicherheit in der Zeitangabe nur geringen Einfluß auf die Messung von Zenitdistanz erhält. Das ist im allgemeinen in der Nähe des Meridians der Fall, wie in 2. angenommen, für polnahe Sterne gilt das aber für jeden Stundenwinkel noch genügend. Der Polarstern (α Ursae min.) z.B. erreicht bei φ = 48°47' und bei Annahme von 90° – δ = 1°15' in seiner größten Digression nur 1°54' im Azimut, und vom Azimut allein ist in einem bestimmten Beobachtungsort die Geschwindigkeit der Höhenänderung der Gestirne abhängig. Im Falle des Polarsterns ändert sich daher die Zenitdistanz in 3,7 Zeitsekunden nur um 1'' in ungünstigster Stellung. Ist zur Sternzeit Θ die Zenitdistanz z (Höhe h = 90° – z) des Polarsterns gemessen, also der Stundenwinkel t des Sterns zur Messungszeit t = Θ – α, so ist (vgl. Fig. 2) im »astronomischen Dreieck« Z P S die Seite P Z = 90° – φ zu bestimmen aus den zwei andern Seiten z und p und dem Gegenwinkel t von z. Zieht man also die Höhe aus S (Großkreisbögen S Q senkrecht zum Meridian), so ist aus den zwei rechtwinkligen Dreiecken:

also aus:

90° – φ = v + w, φ = 90° – (v + w),

4.

die gesuchte Breite bestimmt.

Dieser direkten Auflösung substituiert man in der Regel mit Rücksicht auf die Kleinheit von p beim Polarstern eine Näherungsauflösung; durch Reihenentwicklung. Bis zu den 2. Potenzen von p einschließlich wird:

φ = h – p cos t + ¹/₂ p² sin² t tg h.

5.

Fast alle astronomischen Jahrbücher enthalten auch nach 5. eingerichtete Tafeln, die alle Rechnung ersparen, z.B. das Nautische Jahrbuch jedes Jahres [1]. Wenn die Zeit sehr wenig genau bekannt ist, muß man auch den Polarstern in der Nähe des Meridians nehmen (in der Nähe der obern oder untern Kulmination, wobei also das erste und Hauptkorrektionsglied rechts sich nicht viel von –p oder +p unterscheidet und das zweite klein ist). Einen ähnlichen Ausdruck für die Reduktion der Polarisbeobachtungen erhält man, wenn man in der Reihenentwicklung statt h die genäherte Polhöhe selbst einführt; das hat den Vorteil, daß man das dritte Glied nicht mit dem variabeln h zu rechnen braucht. Es ist dann

φ = 90° – (z + p cos t – M sin² t – N),

wo M =¹/₂ p² tg φ sin 1'' und N = ¹/₆ p³ (1 + 3 tg² φ) sin² t cos t sin² 1'' ist.

Nach dieser Formel lassen sich sehr bequeme und scharfe Tafeln rechnen [9].

4. Nautische Breitenbestimmungen. Die vorstehenden Methoden 2. und 3. sind die wichtigsten auch zur See; Messung der h mit Spiegel- und Prismeninstrumenten (s.d.) über der Kimm (s.d., Bd. 5, S. 470). Eine große Menge von Schriften (Lehrbücher der Navigation u.s.w.) und Tafeln sind den nautischen Breitenbestimmungen gewidmet, von denen in [2]–[6] einige angeführt sind. Einzelheiten s.a. in den Art. Douwes' Aufgabe (s.a. Littrows Aufgabe, Sumnerlinien u.s.w.). – Daß sehr rasche Bewegung des Schiffs in der Richtung Nord-Süd oder umgekehrt bei der Reduktion der Zirkummeridianhöhen auf den Meridian von[170] beträchtlichem Einfluß ist (die größte Höhe der Sonne ist nicht für den Meridianstand der Sonne vorhanden, sondern sie kann in unsern Breiten bis zu 25 Zeitsekunden früher oder später als der Meridiandurchgang eintreten, was von der Aenderung der Deklination der Sonne abhängt), ist neuerdings mehrfach erörtert worden, zuerst in [7].

5. Feine Zirkummeridianzenitdistanzmessung auf dem festen Land, welche die Breite z.B. für Erdmessungszwecke auf 0,''2 oder 0,''1 genau liefern soll, kombiniert stets zwei Sterne, die ungefähr in gleichen Zenitdistanzen N. und S. vom Zenit des Beobachtungspunkts kulminieren, da man sich so von der nicht seiten vorhandenen Anomalie in der Hauptkonstanten der Refraktion (s.d.) befreien und zugleich die Durchbiegung des Fernrohrs (s.d.) bestimmen und in Rechnung bringen kann.

Sehr häufig werden z.B. Zenitdistanzen von Polaris (zu beliebiger Zeit) mit den Zirkummeridianzenitdistanzen von Südsternen, die ungefähr in derselben Höhe kulminieren, kombiniert. Oder es werden beliebige Sternpaare in der Nähe des Meridians genommen, wobei in jedem Paar der eine Stern ungefähr ebensoweit gegen N. vom Zenit entfernt kulminiert wie der andre gegen S., während von Paar zu Paar diese Kulminationshöhe wechselt. Dabei ist es neuerdings nach dem Vorgang von v. Sterneck vielfach üblich geworden, die verwendeten Sterne sämtlich je nur im Augenblick der Kulmination selbst zu beobachten (also jeden nur einmal, je in dem angedeuteten Augenblick, einzustellen); vgl. z.B. [8]. – Doch muß in Beziehung auf solche feinere Messung auf die Literatur verwiesen werden, z.B. [10]–[12].

6. Weitere Methoden für feinere Messung. Ebenso können andre Methoden für dieselben Zwecke hier nur angedeutet werden. Neben der in 5. genannten Methode der zum Zenit symmetrischen Zirkummeridianzenitdistanzen, die den Nachteil haben, daß die Kreisteilungs- und Mikroskopfehler in Betracht kommen, wird auf Erdmessungsstationen u.s.w. viel verwendet die Methode der »Durchgänge durch den I. Vertikal« (Ost- und Westzweig des I. Vertikals), die aber einen sehr guten Uhrgang voraussetzt (der Uhrstand kommt nicht in Betracht), so daß auch sehr gute Boxchronometer kaum genügen; vgl. Albrecht u.s.w., S. 58–74. Eigentümliche regelmäßige Unterschiede zwischen den durch Zirkummeridianzenitdistanzen und durch Durchgangsbeobachtungen im I. Vertikal bestimmten geographischen Breiten von oft überraschend hohen Beträgen (0'',2, ja 0'',5) sind bis jetzt nicht genügend erklärt.

Die Horrebow-Talcottsche Methode der Messung von Meridianzenitdistanzdifferenzen mit Hilfe der Mikrometerschraube (durch den Amerikaner Talcott aufs neue eingeführt und verbessert, so daß sie meist seinen Namen trägt), beseitigt die systematischen Fehler in weitgehendem Maß (Kreisteilungsfehler, Biegung des Fernrohrs, Uhrfehler, Refraktionsanomalien kommen nicht in Betracht; nur die Fehler der Sterndeklinationen gehen noch in ihrem ganzen Betrag in die Resultate ein). Man braucht zu ihrer Anwendung ein besonderes Instrument mit Okularmikrometer, am besten ein sogenanntes Zenitteleskop mit den nötigen besonderen Einrichtungen mit sehr empfindlichen Libellen; vgl. im übrigen [9], [10]. Ueber noch weitere Elimination der systematischen Fehler (Fehler der Sternpositionen) s. z.B. [11].

7. Photographische Breitenbestimmung. Da die Bestimmung der geographischen Breite gleichbedeutend ist mit der Auffindung desjenigen Punktes am Himmel, nach welchem die Lotlinie hinzeigt, so kann man auch φ finden, wenn es gelingt, ein Bild der Zenitgegend des Himmels für einen gegebenen Moment zu erhalten und auf diesem den Zenitpunkt zu finden. Das läßt sich erreichen mittels photographischer Aufnahmen, wenn dieselben so angeordnet sind, daß z.B. dem Zenit nahe Sterne in zwei um 180° azimutal verschiedenen Aufnahmen Spuren auf der Platte ziehen. Die Verbindungslinien genau entsprechender Punkte dieser Spuren müssen sich dann im Zenit schneiden. Die Lage dieses Durchschnittspunktes zu den abgebildeten Sternen, deren Positionen bekannt sind, liefert dann die Deklination des Zenits und damit unmittelbar die geographische Breite. Des weiteren muß auf die Literatur verwiesen werden [15].

8. Schlußbemerkungen. Es sei zum Schluß noch angeführt, daß die Bestimmung der Polhöhe auf 1', 20'', 10'' auch auf einer Reise mit Hilfe eines kleinen Universalinstruments oder mit Reflexionskreisen eine sehr einfache und rasch zu erledigende Sache ist, während die Bestimmung auf 1'' bereits ziemlich große Instrumente und länger fortgesetzte Beobachtung voraussetzt. Die Anwendung der Talcottschen Methode mit Benutzung des visuellen und des photographischen Zenitfernrohrs hat für seine Messungen den Fehler auf etwa ¹/₂₀'' herabgesetzt.

Zur ganzen Aufgabe vgl. die Handbücher der sphärischen und praktischen Astronomie, außer den in [9], [12], die mehr elementare Messungen nach 2. und 3. behandeln [13], und auch zahlreiche, oben nicht genannte Methoden zur Bestimmung der Breite oder Breite und Uhrkorrektion u.s.w. gleichzeitig aus mehreren gemessenen Höhen oder Beobachtung von Sterndurchgängen durch denselben Vertikalkreis oder Kombination von Höhen mit Azimutdifferenzen u.s.w. Auch Beobachtung der Durchgänge verschiedener Sterne durch einen und denselben Almukantarat kann benutzt werden, vgl. Nadirinstrument. Angeführt sei auch noch die näherungsweise Bestimmung der Breite, z.B. auf 1' genau (sowie der Zeit und des Azimuts), ohne Instrument, die Harzer angegeben hat [14].

Literatur: [1] Tafel 11 des Anhangs, Breitenbestimmung nach der Höhe des Polarsterns. Da die Hauptkorrektion an h, p cos t mit einem für mehrere Jahre konstant angenommenen p₀ berechnet wird, so ist eine dritte Korrektion notwendig, die das wirkliche p berücksichtigt. – [2] Towson, Tables for the Reduction of Ex-Meridian Altitudes, London 1880. – [3] Hutton, Pol Star Latitude, London 1890 ([2] und [3] ganz elementar). – [4] Domke, Nautische, astron. und log. Tafeln, 8. Aufl., Berlin 1885. – [5] Handbuch der Navigation (Reichsmarineamt), 4. Aufl., Berlin 1903, und Bolte, F., Neues Handbuch der Schiffahrtskunde, Hamburg 1899, Bd. 2, Tafelsammlung. – [6] Ambronn, Breitenbestimmungen zur See, Hamburg (Seewarte) 1894; guter Ueberblick über die wichtigsten nautischen Methoden. – [7] Goodwin, The Ex-Meridian etc.,[171] London 1894. – [8] Veröff. des Preuß. geod. Inst., Bestimmung der Polhöhe auf 22 Stationen Kolberg-Schneekoppe, Berlin 1896. – [9] Chauvenet, Spherical and Practical Astronomy; Herr-Tinter, Sphärische Astronomie, Wien 1887, S. 410–515; Brünnow, Sphärische Astronomie, 4. Aufl., Berlin 1881, 5. Abschn.; Doolittle, Pract. Astronomy, 4. Aufl., New York 1893, Kap. 5 u. 8; Loomis, Pract. Astron., 7. Aufl., New York 1892, S. 137–165; Caspari, Astronomie pratique, Bd. 2, Paris 1889, S. 3–48; Albrecht, Formeln und Hilfstafeln für geogr. Ortsbestimmungen, 3. Aufl., Leipzig 1894, S. 43–86. – [10] Anwendungen in einer Menge von Erdmessungsschriften, die Polhöhen publizieren, deren Titel hier nicht angegeben werden können; vgl. Geodätische Literatur (Veröff. der internationalen Erdmessung) von Börsch, Berlin 1889. – [11] Förster, Zur Theorie des Durchgangsinstruments, Anhänge des Berliner Astronom. Jahrbuchs für 1880 und 1882. – [13] Jordan, Grundzüge der geogr. Ortsbestimmung, Berlin 1885, §§ 19–21, 24 u.s.w.; Marcuse, Ad., Handbuch der geogr. Ortsbestimmung für Geographen und Forschungsreisende, Braunschweig 1905; Wislicenus, Handbuch der geograph. Ortsbestimmung auf Reifen, Leipzig 1891, 5. 167–218. – [14] Petermanns Geogr. Mitteilungen, Gotha 1896, S. 111, und: Ueber geogr. Ortsbestimmungen ohne astronomische Instrumente, Berlin 1896 (Mitteil, d. Vereins der Freunde der Astronomie und kosm. Physik). – [15] Neumayer, G., Wissenschaftliche Beobachtungen auf Reifen, 3. Aufl., Hannover 1906, Bd. 1, S. 58 ff.

Ambronn.

Fig. 1.

Fig. 2.